Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
x^3/
-
x^4-3*x^2+4
-
Expresiones idénticas
- y=((x+ dos)/(x- uno))²
- y es igual a ((x más 2) dividir por (x menos 1))²
- y es igual a ((x más dos) dividir por (x menos uno))²
- y=x+2/x-1²
- y=((x+2) dividir por (x-1))²
-
Expresiones semejantes
- y=((x-2)/(x-1))²
- y=((x+2)/(x+1))²
Gráfico de la función y = y=((x+2)/(x-1))²
Solución
Ha introducido
[src]
2
/x + 2\
f(x) = |-----|
\x - 1/
$$f{\left(x \right)} = \left(\frac{x + 2}{x - 1}\right)^{2}$$
f = ((x + 2)/(x - 1))^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\frac{x + 2}{x - 1}\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -2.00000026687548$$
$$x_{3} = -1.99999788731491$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\frac{x + 2}{x - 1}\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -2.00000026687548$$
$$x_{3} = -1.99999788731491$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(x - 1\right) \left(\frac{2}{x - 1} - \frac{2 \left(x + 2\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[-2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(x - 1\right) \left(\frac{2}{x - 1} - \frac{2 \left(x + 2\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
Signos de extremos en los puntos:
(-2, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[-2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \frac{3 \left(x + 2\right)}{x - 1}\right) \left(1 - \frac{x + 2}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{7}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{3 \left(x + 2\right)}{x - 1}\right) \left(1 - \frac{x + 2}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{3 \left(x + 2\right)}{x - 1}\right) \left(1 - \frac{x + 2}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{7}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{7}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \frac{3 \left(x + 2\right)}{x - 1}\right) \left(1 - \frac{x + 2}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{7}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{3 \left(x + 2\right)}{x - 1}\right) \left(1 - \frac{x + 2}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{3 \left(x + 2\right)}{x - 1}\right) \left(1 - \frac{x + 2}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{7}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{7}{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 2}{x - 1}\right)^{2} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 1}\right)^{2} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 2}{x - 1}\right)^{2} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 1}\right)^{2} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x + 2)/(x - 1))^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(x + 2\right)^{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(x + 2\right)^{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(x + 2\right)^{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(x + 2\right)^{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\frac{x + 2}{x - 1}\right)^{2} = \frac{\left(2 - x\right)^{2}}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- No
$$\left(\frac{x + 2}{x - 1}\right)^{2} = - \frac{\left(2 - x\right)^{2}}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(\frac{x + 2}{x - 1}\right)^{2} = \frac{\left(2 - x\right)^{2}}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- No
$$\left(\frac{x + 2}{x - 1}\right)^{2} = - \frac{\left(2 - x\right)^{2}}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico