Sr Examen

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(-1-x+exp(x))/x^2
Trazado el gráfico de la función/ (-1-x+exp(x))/x^2

Gráfico de la función y = (-1-x+exp(x))/x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 x
       -1 - x + e 
f(x) = -----------
             2    
            x
f(x)=(−x−1)+exx2f{\left(x \right)} = \frac{\left(- x - 1\right) + e^{x}}{x^{2}} 
f = (-x - 1 + exp(x))/x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100250
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x−1)+exx2=0\frac{\left(- x - 1\right) + e^{x}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-1 - x + exp(x))/x^2.
(−1−0)+e002\frac{\left(-1 - 0\right) + e^{0}}{0^{2}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
ex−1x2−2((−x−1)+ex)x3=0\frac{e^{x} - 1}{x^{2}} - \frac{2 \left(\left(- x - 1\right) + e^{x}\right)}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
ex−4(ex−1)x−6(x−ex+1)x2x2=0\frac{e^{x} - \frac{4 \left(e^{x} - 1\right)}{x} - \frac{6 \left(x - e^{x} + 1\right)}{x^{2}}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12262.3913263446x_{1} = -12262.3913263446
x2=−35121.2367559644x_{2} = -35121.2367559644
x3=−19028.1186107856x_{3} = -19028.1186107856
x4=−41052.6196144354x_{4} = -41052.6196144354
x5=−35968.538108466x_{5} = -35968.538108466
x6=−24955.3369715297x_{6} = -24955.3369715297
x7=−39357.8795522768x_{7} = -39357.8795522768
x8=−32579.4321959345x_{8} = -32579.4321959345
x9=−41900.0044273885x_{9} = -41900.0044273885
x10=−37663.1835429278x_{10} = -37663.1835429278
x11=−13952.2608994171x_{11} = -13952.2608994171
x12=−18181.7251284673x_{12} = -18181.7251284673
x13=−42747.3982826414x_{13} = -42747.3982826414
x14=−34273.9511254653x_{14} = -34273.9511254653
x15=−38510.5256614696x_{15} = -38510.5256614696
x16=−19874.6246417798x_{16} = -19874.6246417798
x17=−30037.8080461813x_{17} = -30037.8080461813
x18=−25802.3233313027x_{18} = -25802.3233313027
x19=−20721.2282189646x_{19} = -20721.2282189646
x20=−22414.6802500837x_{20} = -22414.6802500837
x21=−36815.8540471195x_{21} = -36815.8540471195
x22=−23261.5095056236x_{22} = -23261.5095056236
x23=−17335.4624419828x_{23} = -17335.4624419828
x24=−13107.1283686596x_{24} = -13107.1283686596
x25=−31732.2018432107x_{25} = -31732.2018432107
x26=−26649.3515472863x_{26} = -26649.3515472863
x27=−16489.3529710976x_{27} = -16489.3529710976
x28=−40205.2444396118x_{28} = -40205.2444396118
x29=−21567.9168937669x_{29} = -21567.9168937669
x30=−30884.9931472439x_{30} = -30884.9931472439
x31=−24108.3972035662x_{31} = -24108.3972035662
x32=−14797.7123050682x_{32} = -14797.7123050682
x33=−29190.6487165975x_{33} = -29190.6487165975
x34=−27496.4175047585x_{34} = -27496.4175047585
x35=−15643.4245741434x_{35} = -15643.4245741434
x36=−28343.5176113305x_{36} = -28343.5176113305
x37=−33426.6824739142x_{37} = -33426.6824739142
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(ex−4(ex−1)x−6(x−ex+1)x2x2)=112\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x} - \frac{4 \left(e^{x} - 1\right)}{x} - \frac{6 \left(x - e^{x} + 1\right)}{x^{2}}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{12}
lim⁡x→0+(ex−4(ex−1)x−6(x−ex+1)x2x2)=112\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - \frac{4 \left(e^{x} - 1\right)}{x} - \frac{6 \left(x - e^{x} + 1\right)}{x^{2}}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{12}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-1 - x + exp(x))/x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x−1)+exxx2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x - 1\right) + e^{x}}{x x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((−x−1)+exxx2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x - 1\right) + e^{x}}{x x^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x−1)+exx2=x−1+e−xx2\frac{\left(- x - 1\right) + e^{x}}{x^{2}} = \frac{x - 1 + e^{- x}}{x^{2}}
- No
(−x−1)+exx2=−x−1+e−xx2\frac{\left(- x - 1\right) + e^{x}}{x^{2}} = - \frac{x - 1 + e^{- x}}{x^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (-1-x+exp(x))/x^2
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