Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{e^{x} - \frac{4 \left(e^{x} - 1\right)}{x} - \frac{6 \left(x - e^{x} + 1\right)}{x^{2}}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -12262.3913263446$$
$$x_{2} = -35121.2367559644$$
$$x_{3} = -19028.1186107856$$
$$x_{4} = -41052.6196144354$$
$$x_{5} = -35968.538108466$$
$$x_{6} = -24955.3369715297$$
$$x_{7} = -39357.8795522768$$
$$x_{8} = -32579.4321959345$$
$$x_{9} = -41900.0044273885$$
$$x_{10} = -37663.1835429278$$
$$x_{11} = -13952.2608994171$$
$$x_{12} = -18181.7251284673$$
$$x_{13} = -42747.3982826414$$
$$x_{14} = -34273.9511254653$$
$$x_{15} = -38510.5256614696$$
$$x_{16} = -19874.6246417798$$
$$x_{17} = -30037.8080461813$$
$$x_{18} = -25802.3233313027$$
$$x_{19} = -20721.2282189646$$
$$x_{20} = -22414.6802500837$$
$$x_{21} = -36815.8540471195$$
$$x_{22} = -23261.5095056236$$
$$x_{23} = -17335.4624419828$$
$$x_{24} = -13107.1283686596$$
$$x_{25} = -31732.2018432107$$
$$x_{26} = -26649.3515472863$$
$$x_{27} = -16489.3529710976$$
$$x_{28} = -40205.2444396118$$
$$x_{29} = -21567.9168937669$$
$$x_{30} = -30884.9931472439$$
$$x_{31} = -24108.3972035662$$
$$x_{32} = -14797.7123050682$$
$$x_{33} = -29190.6487165975$$
$$x_{34} = -27496.4175047585$$
$$x_{35} = -15643.4245741434$$
$$x_{36} = -28343.5176113305$$
$$x_{37} = -33426.6824739142$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x} - \frac{4 \left(e^{x} - 1\right)}{x} - \frac{6 \left(x - e^{x} + 1\right)}{x^{2}}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{12}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - \frac{4 \left(e^{x} - 1\right)}{x} - \frac{6 \left(x - e^{x} + 1\right)}{x^{2}}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{12}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico