Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$- \frac{3 \cdot 3^{\frac{x}{x - 1}} \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(- \frac{2 \cdot 3^{\frac{x}{x - 1}} \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \log{\left(3 \right)}}{3^{\frac{x}{x - 1}} + 1} + \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \log{\left(3 \right)} + 2\right) \log{\left(3 \right)}}{\left(3^{\frac{x}{x - 1}} + 1\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -29908.636928733$$
$$x_{2} = -31603.7693598232$$
$$x_{3} = 26883.8853046122$$
$$x_{4} = 29426.5577419324$$
$$x_{5} = 37054.6912373685$$
$$x_{6} = 32816.8216956998$$
$$x_{7} = 12476.5074093375$$
$$x_{8} = 20103.6008384038$$
$$x_{9} = 20951.1167443811$$
$$x_{10} = -41774.6929041884$$
$$x_{11} = 39597.4286274938$$
$$x_{12} = -18043.1054731575$$
$$x_{13} = 31121.6855231164$$
$$x_{14} = -23975.75737467$$
$$x_{15} = 37902.2692381415$$
$$x_{16} = 28578.9974683083$$
$$x_{17} = 15866.1648432361$$
$$x_{18} = -38384.3658876071$$
$$x_{19} = -11263.6639754891$$
$$x_{20} = 38749.8483930223$$
$$x_{21} = 15018.7178603396$$
$$x_{22} = -18890.6051926623$$
$$x_{23} = -10416.3588328175$$
$$x_{24} = -22280.6828635667$$
$$x_{25} = -40079.5275039476$$
$$x_{26} = -14653.2258464252$$
$$x_{27} = -29061.0740163548$$
$$x_{28} = -21433.1534788155$$
$$x_{29} = 14171.2899840595$$
$$x_{30} = 9934.61229787502$$
$$x_{31} = -37536.7866577231$$
$$x_{32} = 41292.5920678918$$
$$x_{33} = 42140.175153671$$
$$x_{34} = -12111.0102976983$$
$$x_{35} = -17195.6159359503$$
$$x_{36} = 13323.8849223932$$
$$x_{37} = -34994.0561932846$$
$$x_{38} = 23493.7030591921$$
$$x_{39} = 22646.1685840895$$
$$x_{40} = 11629.1635861978$$
$$x_{41} = -36689.2085767147$$
$$x_{42} = 10781.8615666447$$
$$x_{43} = -24823.3014348376$$
$$x_{44} = 17561.1049220849$$
$$x_{45} = 31969.2526444807$$
$$x_{46} = 21798.6395884783$$
$$x_{47} = 26036.3339649633$$
$$x_{48} = -33298.9094852135$$
$$x_{49} = 33664.3925300643$$
$$x_{50} = 40445.0098733187$$
$$x_{51} = -13805.7965760249$$
$$x_{52} = -39231.9461922947$$
$$x_{53} = -12958.389841624$$
$$x_{54} = 27731.4399031165$$
$$x_{55} = 24341.2424362146$$
$$x_{56} = 25188.7862160061$$
$$x_{57} = -16348.138145353$$
$$x_{58} = 19256.0927972455$$
$$x_{59} = -15500.674003441$$
$$x_{60} = -30756.2021035048$$
$$x_{61} = -23128.2176861261$$
$$x_{62} = -32451.3385356166$$
$$x_{63} = -27365.9558133572$$
$$x_{64} = -20585.6301969507$$
$$x_{65} = 30274.1204948645$$
$$x_{66} = -28213.5135687918$$
$$x_{67} = -25670.8494370431$$
$$x_{68} = 35359.5390321598$$
$$x_{69} = -19738.1137961246$$
$$x_{70} = 16713.6279870582$$
$$x_{71} = 18408.5937203422$$
$$x_{72} = -42622.2768828661$$
$$x_{73} = -34146.482077319$$
$$x_{74} = -35841.6317256205$$
$$x_{75} = 36207.1144722403$$
$$x_{76} = 34511.9650153681$$
$$x_{77} = -40927.1097603188$$
$$x_{78} = -26518.4010062029$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \frac{3 \cdot 3^{\frac{x}{x - 1}} \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(- \frac{2 \cdot 3^{\frac{x}{x - 1}} \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \log{\left(3 \right)}}{3^{\frac{x}{x - 1}} + 1} + \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \log{\left(3 \right)} + 2\right) \log{\left(3 \right)}}{\left(3^{\frac{x}{x - 1}} + 1\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{3 \cdot 3^{\frac{x}{x - 1}} \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(- \frac{2 \cdot 3^{\frac{x}{x - 1}} \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \log{\left(3 \right)}}{3^{\frac{x}{x - 1}} + 1} + \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \log{\left(3 \right)} + 2\right) \log{\left(3 \right)}}{\left(3^{\frac{x}{x - 1}} + 1\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico