Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ 3/(1+3^(x/(x-1)))

Gráfico de la función y = 3/(1+3^(x/(x-1)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           3     
f(x) = ----------
              x  
            -----
            x - 1
       1 + 3
f(x)=33xx−1+1f{\left(x \right)} = \frac{3}{3^{\frac{x}{x - 1}} + 1} 
f = 3/(3^(x/(x - 1)) + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
33xx−1+1=0\frac{3}{3^{\frac{x}{x - 1}} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3/(1 + 3^(x/(x - 1))).
31+30−1\frac{3}{1 + 3^{\frac{0}{-1}}}
Resultado:
f(0)=32f{\left(0 \right)} = \frac{3}{2}
Punto:
(0, 3/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3⋅3xx−1(−x(x−1)2+1x−1)log⁡(3)(3xx−1+1)2=0- \frac{3 \cdot 3^{\frac{x}{x - 1}} \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}\right) \log{\left(3 \right)}}{\left(3^{\frac{x}{x - 1}} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3⋅3xx−1(xx−1−1)(−2⋅3xx−1(xx−1−1)log⁡(3)3xx−1+1+(xx−1−1)log⁡(3)+2)log⁡(3)(3xx−1+1)2(x−1)2=0- \frac{3 \cdot 3^{\frac{x}{x - 1}} \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(- \frac{2 \cdot 3^{\frac{x}{x - 1}} \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \log{\left(3 \right)}}{3^{\frac{x}{x - 1}} + 1} + \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \log{\left(3 \right)} + 2\right) \log{\left(3 \right)}}{\left(3^{\frac{x}{x - 1}} + 1\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−29908.636928733x_{1} = -29908.636928733
x2=−31603.7693598232x_{2} = -31603.7693598232
x3=26883.8853046122x_{3} = 26883.8853046122
x4=29426.5577419324x_{4} = 29426.5577419324
x5=37054.6912373685x_{5} = 37054.6912373685
x6=32816.8216956998x_{6} = 32816.8216956998
x7=12476.5074093375x_{7} = 12476.5074093375
x8=20103.6008384038x_{8} = 20103.6008384038
x9=20951.1167443811x_{9} = 20951.1167443811
x10=−41774.6929041884x_{10} = -41774.6929041884
x11=39597.4286274938x_{11} = 39597.4286274938
x12=−18043.1054731575x_{12} = -18043.1054731575
x13=31121.6855231164x_{13} = 31121.6855231164
x14=−23975.75737467x_{14} = -23975.75737467
x15=37902.2692381415x_{15} = 37902.2692381415
x16=28578.9974683083x_{16} = 28578.9974683083
x17=15866.1648432361x_{17} = 15866.1648432361
x18=−38384.3658876071x_{18} = -38384.3658876071
x19=−11263.6639754891x_{19} = -11263.6639754891
x20=38749.8483930223x_{20} = 38749.8483930223
x21=15018.7178603396x_{21} = 15018.7178603396
x22=−18890.6051926623x_{22} = -18890.6051926623
x23=−10416.3588328175x_{23} = -10416.3588328175
x24=−22280.6828635667x_{24} = -22280.6828635667
x25=−40079.5275039476x_{25} = -40079.5275039476
x26=−14653.2258464252x_{26} = -14653.2258464252
x27=−29061.0740163548x_{27} = -29061.0740163548
x28=−21433.1534788155x_{28} = -21433.1534788155
x29=14171.2899840595x_{29} = 14171.2899840595
x30=9934.61229787502x_{30} = 9934.61229787502
x31=−37536.7866577231x_{31} = -37536.7866577231
x32=41292.5920678918x_{32} = 41292.5920678918
x33=42140.175153671x_{33} = 42140.175153671
x34=−12111.0102976983x_{34} = -12111.0102976983
x35=−17195.6159359503x_{35} = -17195.6159359503
x36=13323.8849223932x_{36} = 13323.8849223932
x37=−34994.0561932846x_{37} = -34994.0561932846
x38=23493.7030591921x_{38} = 23493.7030591921
x39=22646.1685840895x_{39} = 22646.1685840895
x40=11629.1635861978x_{40} = 11629.1635861978
x41=−36689.2085767147x_{41} = -36689.2085767147
x42=10781.8615666447x_{42} = 10781.8615666447
x43=−24823.3014348376x_{43} = -24823.3014348376
x44=17561.1049220849x_{44} = 17561.1049220849
x45=31969.2526444807x_{45} = 31969.2526444807
x46=21798.6395884783x_{46} = 21798.6395884783
x47=26036.3339649633x_{47} = 26036.3339649633
x48=−33298.9094852135x_{48} = -33298.9094852135
x49=33664.3925300643x_{49} = 33664.3925300643
x50=40445.0098733187x_{50} = 40445.0098733187
x51=−13805.7965760249x_{51} = -13805.7965760249
x52=−39231.9461922947x_{52} = -39231.9461922947
x53=−12958.389841624x_{53} = -12958.389841624
x54=27731.4399031165x_{54} = 27731.4399031165
x55=24341.2424362146x_{55} = 24341.2424362146
x56=25188.7862160061x_{56} = 25188.7862160061
x57=−16348.138145353x_{57} = -16348.138145353
x58=19256.0927972455x_{58} = 19256.0927972455
x59=−15500.674003441x_{59} = -15500.674003441
x60=−30756.2021035048x_{60} = -30756.2021035048
x61=−23128.2176861261x_{61} = -23128.2176861261
x62=−32451.3385356166x_{62} = -32451.3385356166
x63=−27365.9558133572x_{63} = -27365.9558133572
x64=−20585.6301969507x_{64} = -20585.6301969507
x65=30274.1204948645x_{65} = 30274.1204948645
x66=−28213.5135687918x_{66} = -28213.5135687918
x67=−25670.8494370431x_{67} = -25670.8494370431
x68=35359.5390321598x_{68} = 35359.5390321598
x69=−19738.1137961246x_{69} = -19738.1137961246
x70=16713.6279870582x_{70} = 16713.6279870582
x71=18408.5937203422x_{71} = 18408.5937203422
x72=−42622.2768828661x_{72} = -42622.2768828661
x73=−34146.482077319x_{73} = -34146.482077319
x74=−35841.6317256205x_{74} = -35841.6317256205
x75=36207.1144722403x_{75} = 36207.1144722403
x76=34511.9650153681x_{76} = 34511.9650153681
x77=−40927.1097603188x_{77} = -40927.1097603188
x78=−26518.4010062029x_{78} = -26518.4010062029
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(−3⋅3xx−1(xx−1−1)(−2⋅3xx−1(xx−1−1)log⁡(3)3xx−1+1+(xx−1−1)log⁡(3)+2)log⁡(3)(3xx−1+1)2(x−1)2)=0\lim_{x \to 1^-}\left(- \frac{3 \cdot 3^{\frac{x}{x - 1}} \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(- \frac{2 \cdot 3^{\frac{x}{x - 1}} \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \log{\left(3 \right)}}{3^{\frac{x}{x - 1}} + 1} + \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \log{\left(3 \right)} + 2\right) \log{\left(3 \right)}}{\left(3^{\frac{x}{x - 1}} + 1\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0
lim⁡x→1+(−3⋅3xx−1(xx−1−1)(−2⋅3xx−1(xx−1−1)log⁡(3)3xx−1+1+(xx−1−1)log⁡(3)+2)log⁡(3)(3xx−1+1)2(x−1)2)=0\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{3 \cdot 3^{\frac{x}{x - 1}} \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(- \frac{2 \cdot 3^{\frac{x}{x - 1}} \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \log{\left(3 \right)}}{3^{\frac{x}{x - 1}} + 1} + \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \log{\left(3 \right)} + 2\right) \log{\left(3 \right)}}{\left(3^{\frac{x}{x - 1}} + 1\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(33xx−1+1)=34\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3}{3^{\frac{x}{x - 1}} + 1}\right) = \frac{3}{4}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=34y = \frac{3}{4}
lim⁡x→∞(33xx−1+1)=34\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3}{3^{\frac{x}{x - 1}} + 1}\right) = \frac{3}{4}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=34y = \frac{3}{4}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3/(1 + 3^(x/(x - 1))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3x(3xx−1+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3}{x \left(3^{\frac{x}{x - 1}} + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3x(3xx−1+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3}{x \left(3^{\frac{x}{x - 1}} + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
33xx−1+1=31+3−x−x−1\frac{3}{3^{\frac{x}{x - 1}} + 1} = \frac{3}{1 + 3^{- \frac{x}{- x - 1}}}
- No
33xx−1+1=−31+3−x−x−1\frac{3}{3^{\frac{x}{x - 1}} + 1} = - \frac{3}{1 + 3^{- \frac{x}{- x - 1}}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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