Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • (x-1)/(x+2) (x-1)/(x+2)
  • -1-x -1-x
  • -exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2) -exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
  • 3/(x^2+1) 3/(x^2+1)
  • Expresiones idénticas

  • (uno / seis *x^ tres -x^ dos + cuatro)^ tres
  • (1 dividir por 6 multiplicar por x al cubo menos x al cuadrado más 4) al cubo
  • (uno dividir por seis multiplicar por x en el grado tres menos x en el grado dos más cuatro) en el grado tres
  • (1/6*x3-x2+4)3
  • 1/6*x3-x2+43
  • (1/6*x³-x²+4)³
  • (1/6*x en el grado 3-x en el grado 2+4) en el grado 3
  • (1/6x^3-x^2+4)^3
  • (1/6x3-x2+4)3
  • 1/6x3-x2+43
  • 1/6x^3-x^2+4^3
  • (1 dividir por 6*x^3-x^2+4)^3
  • Expresiones semejantes

  • (1/6*x^3-x^2-4)^3
  • (1/6*x^3+x^2+4)^3

Gráfico de la función y = (1/6*x^3-x^2+4)^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                    3
       / 3         \ 
       |x     2    | 
f(x) = |-- - x  + 4| 
       \6          / 
$$f{\left(x \right)} = \left(\left(\frac{x^{3}}{6} - x^{2}\right) + 4\right)^{3}$$
f = (x^3/6 - x^2 + 4)^3
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\left(\frac{x^{3}}{6} - x^{2}\right) + 4\right)^{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 2 - \frac{2 \sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}{3} - \frac{6}{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 5.06417777247591$$
$$x_{2} = 2.69459271066772$$
$$x_{3} = -1.75877048314363$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^3/6 - x^2 + 4)^3.
$$\left(\left(\frac{0^{3}}{6} - 0^{2}\right) + 4\right)^{3}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 64$$
Punto:
(0, 64)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(\frac{3 x^{2}}{2} - 6 x\right) \left(\left(\frac{x^{3}}{6} - x^{2}\right) + 4\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = 2 - \frac{2 \sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}{3} - \frac{6}{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 64)

    -64  
(4, ----)
     27  

                                                                                                                                                                                 3 
                                                        /                                                                                                                      3\  
                                                        |                                                               /                                    _________________\ |  
                                                        |                                                               |                                   /             ___ | |  
                                                        |                                                               |                                  /  27   27*I*\/ 3  | |  
                                                        |                                                               |                             2*3 /   -- + ---------- | |  
                                                        |                                                               |              6                \/    2        2      | |  
                                                        |                                                           2   |2 - ---------------------- - ------------------------| |  
                                     _________________  |    /                                    _________________\    |         _________________              3            | |  
                                    /             ___   |    |                                   /             ___ |    |        /             ___                            | |  
                                   /  27   27*I*\/ 3    |    |                                  /  27   27*I*\/ 3  |    |       /  27   27*I*\/ 3                             | |  
                              2*3 /   -- + ----------   |    |                             2*3 /   -- + ---------- |    |    3 /   -- + ----------                            | |  
               6                \/    2        2        |    |              6                \/    2        2      |    \    \/    2        2                                 / |  
(2 - ---------------------- - ------------------------, |4 - |2 - ---------------------- - ------------------------|  + --------------------------------------------------------| )
          _________________              3              |    |         _________________              3            |                               6                            |  
         /             ___                              |    |        /             ___                            |                                                            |  
        /  27   27*I*\/ 3                               |    |       /  27   27*I*\/ 3                             |                                                            |  
     3 /   -- + ----------                              |    |    3 /   -- + ----------                            |                                                            |  
     \/    2        2                                   \    \    \/    2        2                                 /                                                            /  


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, 4\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$3 \left(3 x^{2} \left(x - 4\right)^{2} + \left(x - 2\right) \left(x^{3} - 6 x^{2} + 24\right)\right) \left(\frac{x^{3}}{36} - \frac{x^{2}}{6} + \frac{2}{3}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 - \frac{\sqrt[3]{108 + 108 \sqrt{3} i}}{3} - \frac{12}{\sqrt[3]{108 + 108 \sqrt{3} i}}$$
$$x_{2} = 2 - \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2} - \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} + \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2}$$
$$x_{3} = 2 - \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2} + \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} + \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2}$$
$$x_{4} = 2 - \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} - \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2} + \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2}$$
$$x_{5} = 2 + \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} - \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2} + \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2} - \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} + \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2}\right] \cap \left(-\infty, 2 + \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} - \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2} + \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2}\right] \cap \left[2 - 4 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}, \infty\right) \cap \left[2 - \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2} + \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} + \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2}, \infty\right) \cap \left[2 - \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} - \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2} + \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - 4 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right] \cap \left(-\infty, 2 - \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2} + \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} + \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2}\right] \cap \left(-\infty, 2 - \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} - \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2} + \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2}\right] \cap \left[2 - \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2} - \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} + \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2}, \infty\right) \cap \left[2 + \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} - \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2} + \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\left(\frac{x^{3}}{6} - x^{2}\right) + 4\right)^{3} = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \left(\left(\frac{x^{3}}{6} - x^{2}\right) + 4\right)^{3} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3/6 - x^2 + 4)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(\frac{x^{3}}{6} - x^{2}\right) + 4\right)^{3}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(\frac{x^{3}}{6} - x^{2}\right) + 4\right)^{3}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\left(\frac{x^{3}}{6} - x^{2}\right) + 4\right)^{3} = \left(- \frac{x^{3}}{6} - x^{2} + 4\right)^{3}$$
- No
$$\left(\left(\frac{x^{3}}{6} - x^{2}\right) + 4\right)^{3} = - \left(- \frac{x^{3}}{6} - x^{2} + 4\right)^{3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar