Sr Examen

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  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • -x^2+3*x -x^2+3*x
  • x^2-2*x+8 x^2-2*x+8
  • y=x y=x
  • y=x³-3x² y=x³-3x²

  • Expresiones idénticas

  • (uno / seis *x^ tres -x^ dos + cuatro)^ tres
  • (1 dividir por 6 multiplicar por x al cubo menos x al cuadrado más 4) al cubo
  • (uno dividir por seis multiplicar por x en el grado tres menos x en el grado dos más cuatro) en el grado tres
  • (1/6*x3-x2+4)3
  • 1/6*x3-x2+43
  • (1/6*x³-x²+4)³
  • (1/6*x en el grado 3-x en el grado 2+4) en el grado 3
  • (1/6x^3-x^2+4)^3
  • (1/6x3-x2+4)3
  • 1/6x3-x2+43
  • 1/6x^3-x^2+4^3
  • (1 dividir por 6*x^3-x^2+4)^3

  • Expresiones semejantes

  • (1/6*x^3+x^2+4)^3
  • (1/6*x^3-x^2-4)^3
Trazado el gráfico de la función/ (1/6*x^3-x^2+4)^3

Gráfico de la función y = (1/6*x^3-x^2+4)^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                    3
       / 3         \ 
       |x     2    | 
f(x) = |-- - x  + 4| 
       \6          /
f(x)=((x36−x2)+4)3f{\left(x \right)} = \left(\left(\frac{x^{3}}{6} - x^{2}\right) + 4\right)^{3} 
f = (x^3/6 - x^2 + 4)^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000000020000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((x36−x2)+4)3=0\left(\left(\frac{x^{3}}{6} - x^{2}\right) + 4\right)^{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2−2272+273i233−6272+273i23x_{1} = 2 - \frac{2 \sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}{3} - \frac{6}{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}
Solución numérica
x1=5.06417777247591x_{1} = 5.06417777247591
x2=2.69459271066772x_{2} = 2.69459271066772
x3=−1.75877048314363x_{3} = -1.75877048314363
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^3/6 - x^2 + 4)^3.
((036−02)+4)3\left(\left(\frac{0^{3}}{6} - 0^{2}\right) + 4\right)^{3}
Resultado:
f(0)=64f{\left(0 \right)} = 64
Punto:
(0, 64)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(3x22−6x)((x36−x2)+4)2=0\left(\frac{3 x^{2}}{2} - 6 x\right) \left(\left(\frac{x^{3}}{6} - x^{2}\right) + 4\right)^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=4x_{2} = 4
x3=2−2272+273i233−6272+273i23x_{3} = 2 - \frac{2 \sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}{3} - \frac{6}{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 64)

    -64  
(4, ----)
     27  

                                                                                                                                                                                 3 
                                                        /                                                                                                                      3\  
                                                        |                                                               /                                    _________________\ |  
                                                        |                                                               |                                   /             ___ | |  
                                                        |                                                               |                                  /  27   27*I*\/ 3  | |  
                                                        |                                                               |                             2*3 /   -- + ---------- | |  
                                                        |                                                               |              6                \/    2        2      | |  
                                                        |                                                           2   |2 - ---------------------- - ------------------------| |  
                                     _________________  |    /                                    _________________\    |         _________________              3            | |  
                                    /             ___   |    |                                   /             ___ |    |        /             ___                            | |  
                                   /  27   27*I*\/ 3    |    |                                  /  27   27*I*\/ 3  |    |       /  27   27*I*\/ 3                             | |  
                              2*3 /   -- + ----------   |    |                             2*3 /   -- + ---------- |    |    3 /   -- + ----------                            | |  
               6                \/    2        2        |    |              6                \/    2        2      |    \    \/    2        2                                 / |  
(2 - ---------------------- - ------------------------, |4 - |2 - ---------------------- - ------------------------|  + --------------------------------------------------------| )
          _________________              3              |    |         _________________              3            |                               6                            |  
         /             ___                              |    |        /             ___                            |                                                            |  
        /  27   27*I*\/ 3                               |    |       /  27   27*I*\/ 3                             |                                                            |  
     3 /   -- + ----------                              |    |    3 /   -- + ----------                            |                                                            |  
     \/    2        2                                   \    \    \/    2        2                                 /                                                            /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4x_{1} = 4
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[4,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[4, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,4]\left[0, 4\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(3x2(x−4)2+(x−2)(x3−6x2+24))(x336−x26+23)=03 \left(3 x^{2} \left(x - 4\right)^{2} + \left(x - 2\right) \left(x^{3} - 6 x^{2} + 24\right)\right) \left(\frac{x^{3}}{36} - \frac{x^{2}}{6} + \frac{2}{3}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2−108+1083i33−12108+1083i3x_{1} = 2 - \frac{\sqrt[3]{108 + 108 \sqrt{3} i}}{3} - \frac{12}{\sqrt[3]{108 + 108 \sqrt{3} i}}
x2=2−6+2521198+366i43+21198+366i432−12−21198+366i43+46+2521198+366i43+21198+366i43−2521198+366i432x_{2} = 2 - \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2} - \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} + \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2}
x3=2−6+2521198+366i43+21198+366i432+12−21198+366i43+46+2521198+366i43+21198+366i43−2521198+366i432x_{3} = 2 - \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2} + \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} + \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2}
x4=2−12−21198+366i43−46+2521198+366i43+21198+366i43−2521198+366i432+6+2521198+366i43+21198+366i432x_{4} = 2 - \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} - \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2} + \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2}
x5=2+12−21198+366i43−46+2521198+366i43+21198+366i43−2521198+366i432+6+2521198+366i43+21198+366i432x_{5} = 2 + \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} - \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2} + \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,2−6+2521198+366i43+21198+366i432−12−21198+366i43+46+2521198+366i43+21198+366i43−2521198+366i432]∩(−∞,2+12−21198+366i43−46+2521198+366i43+21198+366i43−2521198+366i432+6+2521198+366i43+21198+366i432]∩[2−4cos⁡(π9),∞)∩[2−6+2521198+366i43+21198+366i432+12−21198+366i43+46+2521198+366i43+21198+366i43−2521198+366i432,∞)∩[2−12−21198+366i43−46+2521198+366i43+21198+366i43−2521198+366i432+6+2521198+366i43+21198+366i432,∞)\left(-\infty, 2 - \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2} - \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} + \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2}\right] \cap \left(-\infty, 2 + \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} - \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2} + \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2}\right] \cap \left[2 - 4 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}, \infty\right) \cap \left[2 - \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2} + \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} + \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2}, \infty\right) \cap \left[2 - \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} - \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2} + \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2−4cos⁡(π9)]∩(−∞,2−6+2521198+366i43+21198+366i432+12−21198+366i43+46+2521198+366i43+21198+366i43−2521198+366i432]∩(−∞,2−12−21198+366i43−46+2521198+366i43+21198+366i43−2521198+366i432+6+2521198+366i43+21198+366i432]∩[2−6+2521198+366i43+21198+366i432−12−21198+366i43+46+2521198+366i43+21198+366i43−2521198+366i432,∞)∩[2+12−21198+366i43−46+2521198+366i43+21198+366i43−2521198+366i432+6+2521198+366i43+21198+366i432,∞)\left(-\infty, 2 - 4 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right] \cap \left(-\infty, 2 - \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2} + \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} + \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2}\right] \cap \left(-\infty, 2 - \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} - \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2} + \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2}\right] \cap \left[2 - \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2} - \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} + \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2}, \infty\right) \cap \left[2 + \frac{\sqrt{12 - 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}} - \frac{4}{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}} - \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}}{2} + \frac{\sqrt{6 + \frac{25}{2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{119}{8} + \frac{\sqrt{366} i}{4}}}}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x36−x2)+4)3=−∞\lim_{x \to -\infty} \left(\left(\frac{x^{3}}{6} - x^{2}\right) + 4\right)^{3} = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x36−x2)+4)3=∞\lim_{x \to \infty} \left(\left(\frac{x^{3}}{6} - x^{2}\right) + 4\right)^{3} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3/6 - x^2 + 4)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((x36−x2)+4)3x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(\frac{x^{3}}{6} - x^{2}\right) + 4\right)^{3}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(((x36−x2)+4)3x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(\frac{x^{3}}{6} - x^{2}\right) + 4\right)^{3}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((x36−x2)+4)3=(−x36−x2+4)3\left(\left(\frac{x^{3}}{6} - x^{2}\right) + 4\right)^{3} = \left(- \frac{x^{3}}{6} - x^{2} + 4\right)^{3}
- No
((x36−x2)+4)3=−(−x36−x2+4)3\left(\left(\frac{x^{3}}{6} - x^{2}\right) + 4\right)^{3} = - \left(- \frac{x^{3}}{6} - x^{2} + 4\right)^{3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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