Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x/(x^2-2x+2)

Gráfico de la función y = x/(x^2-2x+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            x      
f(x) = ------------
        2          
       x  - 2*x + 2
f(x)=x(x2−2x)+2f{\left(x \right)} = \frac{x}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} 
f = x/(x^2 - 2*x + 2)
Gráfico de la función
-5.0-4.0-3.0-2.0-1.05.00.01.02.03.04.02-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(x2−2x)+2=0\frac{x}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/(x^2 - 2*x + 2).
0(02−0)+2\frac{0}{\left(0^{2} - 0\right) + 2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(2−2x)((x2−2x)+2)2+1(x2−2x)+2=0\frac{x \left(2 - 2 x\right)}{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 2\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = - \sqrt{2}
x2=2x_{2} = \sqrt{2}
Signos de extremos en los puntos:
              ___    
    ___    -\/ 2     
(-\/ 2, -----------)
                 ___ 
         4 + 2*\/ 2  

             ___    
   ___     \/ 2     
(\/ 2, -----------)
                ___ 
        4 - 2*\/ 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2x_{1} = - \sqrt{2}
Puntos máximos de la función:
x1=2x_{1} = \sqrt{2}
Decrece en los intervalos
[−2,2]\left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−2]∪[2,∞)\left(-\infty, - \sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x(4(x−1)2x2−2x+2−1)−2x+2)(x2−2x+2)2=0\frac{2 \left(x \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x^{2} - 2 x + 2} - 1\right) - 2 x + 2\right)}{\left(x^{2} - 2 x + 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
x2=−1+3x_{2} = -1 + \sqrt{3}
x3=−3−1x_{3} = - \sqrt{3} - 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−3−1,−1+3]∪[2,∞)\left[- \sqrt{3} - 1, -1 + \sqrt{3}\right] \cup \left[2, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−3−1]∪[−1+3,2]\left(-\infty, - \sqrt{3} - 1\right] \cup \left[-1 + \sqrt{3}, 2\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(x2−2x)+2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x(x2−2x)+2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(x^2 - 2*x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞1(x2−2x)+2=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞1(x2−2x)+2=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(x2−2x)+2=−xx2+2x+2\frac{x}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = - \frac{x}{x^{2} + 2 x + 2}
- No
x(x2−2x)+2=xx2+2x+2\frac{x}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = \frac{x}{x^{2} + 2 x + 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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