Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ |x-3|-2|x-1|+2|x|-x+1

Gráfico de la función y = |x-3|-2|x-1|+2|x|-x+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = |x - 3| - 2*|x - 1| + 2*|x| - x + 1
f(x)=(−x+((∣x−3∣−2∣x−1∣)+2∣x∣))+1f{\left(x \right)} = \left(- x + \left(\left(\left|{x - 3}\right| - 2 \left|{x - 1}\right|\right) + 2 \left|{x}\right|\right)\right) + 1 
f = -x + |x - 3| - 2*|x - 1| + 2*|x| + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010025
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x+((∣x−3∣−2∣x−1∣)+2∣x∣))+1=0\left(- x + \left(\left(\left|{x - 3}\right| - 2 \left|{x - 1}\right|\right) + 2 \left|{x}\right|\right)\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=46x_{1} = 46
x2=3.06177606177606x_{2} = 3.06177606177606
x3=3.04953560371517x_{3} = 3.04953560371517
x4=58x_{4} = 58
x5=50x_{5} = 50
x6=80x_{6} = 80
x7=3.05992509363296x_{7} = 3.05992509363296
x8=3.08205128205128x_{8} = 3.08205128205128
x9=60x_{9} = 60
x10=26x_{10} = 26
x11=74x_{11} = 74
x12=3.0704845814978x_{12} = 3.0704845814978
x13=3.07305936073059x_{13} = 3.07305936073059
x14=72x_{14} = 72
x15=44x_{15} = 44
x16=3.04221635883905x_{16} = 3.04221635883905
x17=3.17582417582418x_{17} = 3.17582417582418
x18=3.21333333333333x_{18} = 3.21333333333333
x19=14x_{19} = 14
x20=3.06808510638298x_{20} = 3.06808510638298
x21=3.11510791366906x_{21} = 3.11510791366906
x22=34x_{22} = 34
x23=3.19277108433735x_{23} = 3.19277108433735
x24=86x_{24} = 86
x25=36x_{25} = 36
x26=3.14953271028037x_{26} = 3.14953271028037
x27=3.07881773399015x_{27} = 3.07881773399015
x28=3.05211726384365x_{28} = 3.05211726384365
x29=3.08938547486034x_{29} = 3.08938547486034
x30=78x_{30} = 78
x31=3.09815950920245x_{31} = 3.09815950920245
x32=3.04610951008646x_{32} = 3.04610951008646
x33=48x_{33} = 48
x34=3x_{34} = 3
x35=3.05351170568562x_{35} = 3.05351170568562
x36=30x_{36} = 30
x37=3.45714285714286x_{37} = 3.45714285714286
x38=16x_{38} = 16
x39=68x_{39} = 68
x40=90x_{40} = 90
x41=38x_{41} = 38
x42=4.45454545454545x_{42} = 4.45454545454545
x43=3.0565371024735x_{43} = 3.0565371024735
x44=32x_{44} = 32
x45=70x_{45} = 70
x46=3.27118644067797x_{46} = 3.27118644067797
x47=64x_{47} = 64
x48=3.04719764011799x_{48} = 3.04719764011799
x49=3.04407713498623x_{49} = 3.04407713498623
x50=3.04134366925065x_{50} = 3.04134366925065
x51=8x_{51} = 8
x52=24x_{52} = 24
x53=3.09356725146199x_{53} = 3.09356725146199
x54=3.05079365079365x_{54} = 3.05079365079365
x55=62x_{55} = 62
x56=3.06374501992032x_{56} = 3.06374501992032
x57=3.07582938388626x_{57} = 3.07582938388626
x58=3.05818181818182x_{58} = 3.05818181818182
x59=18x_{59} = 18
x60=52x_{60} = 52
x61=3.59259259259259x_{61} = 3.59259259259259
x62=20x_{62} = 20
x63=96x_{63} = 96
x64=3.13008130081301x_{64} = 3.13008130081301
x65=10x_{65} = 10
x66=54x_{66} = 54
x67=3.16161616161616x_{67} = 3.16161616161616
x68=98x_{68} = 98
x69=3.13913043478261x_{69} = 3.13913043478261
x70=4x_{70} = 4
x71=3.04833836858006x_{71} = 3.04833836858006
x72=82x_{72} = 82
x73=56x_{73} = 56
x74=28x_{74} = 28
x75=40x_{75} = 40
x76=88x_{76} = 88
x77=94x_{77} = 94
x78=3.10884353741497x_{78} = 3.10884353741497
x79=3.04050632911392x_{79} = 3.04050632911392
x80=22x_{80} = 22
x81=84x_{81} = 84
x82=3.31372549019608x_{82} = 3.31372549019608
x83=3.12213740458015x_{83} = 3.12213740458015
x84=3.06584362139918x_{84} = 3.06584362139918
x85=92x_{85} = 92
x86=3.04507042253521x_{86} = 3.04507042253521
x87=3.05498281786942x_{87} = 3.05498281786942
x88=8.33333333333333x_{88} = 8.33333333333333
x89=76x_{89} = 76
x90=3.84210526315789x_{90} = 3.84210526315789
x91=6x_{91} = 6
x92=3.23880597014925x_{92} = 3.23880597014925
x93=3.37209302325581x_{93} = 3.37209302325581
x94=42x_{94} = 42
x95=3.0855614973262x_{95} = 3.0855614973262
x96=66x_{96} = 66
x97=3.04312668463612x_{97} = 3.04312668463612
x98=12x_{98} = 12
x99=100x_{99} = 100
x100=3.10322580645161x_{100} = 3.10322580645161
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x - 3| - 2*|x - 1| + 2*|x| - x + 1.
(−0+(2∣0∣+(−2∣−1∣+∣−3∣)))+1\left(- 0 + \left(2 \left|{0}\right| + \left(- 2 \left|{-1}\right| + \left|{-3}\right|\right)\right)\right) + 1
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2sign⁡(x)+sign⁡(x−3)−2sign⁡(x−1)−1=02 \operatorname{sign}{\left(x \right)} + \operatorname{sign}{\left(x - 3 \right)} - 2 \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=86x_{1} = 86
x2=8x_{2} = 8
x3=88x_{3} = 88
x4=24x_{4} = 24
x5=94x_{5} = 94
x6=46x_{6} = 46
x7=36x_{7} = 36
x8=58x_{8} = 58
x9=22x_{9} = 22
x10=62x_{10} = 62
x11=84x_{11} = 84
x12=50x_{12} = 50
x13=80x_{13} = 80
x14=18x_{14} = 18
x15=60x_{15} = 60
x16=78x_{16} = 78
x17=0x_{17} = 0
x18=48x_{18} = 48
x19=26x_{19} = 26
x20=52x_{20} = 52
x21=92x_{21} = 92
x22=74x_{22} = 74
x23=20x_{23} = 20
x24=72x_{24} = 72
x25=96x_{25} = 96
x26=44x_{26} = 44
x27=30x_{27} = 30
x28=10x_{28} = 10
x29=54x_{29} = 54
x30=16x_{30} = 16
x31=68x_{31} = 68
x32=76x_{32} = 76
x33=98x_{33} = 98
x34=4x_{34} = 4
x35=82x_{35} = 82
x36=90x_{36} = 90
x37=38x_{37} = 38
x38=6x_{38} = 6
x39=56x_{39} = 56
x40=14x_{40} = 14
x41=32x_{41} = 32
x42=70x_{42} = 70
x43=42x_{43} = 42
x44=66x_{44} = 66
x45=12x_{45} = 12
x46=64x_{46} = 64
x47=100x_{47} = 100
x48=34x_{48} = 34
x49=28x_{49} = 28
x50=40x_{50} = 40
Signos de extremos en los puntos:
(86, 0)

(8, 0)

(88, 0)

(24, 0)

(94, 0)

(46, 0)

(36, 0)

(58, 0)

(22, 0)

(62, 0)

(84, 0)

(50, 0)

(80, 0)

(18, 0)

(60, 0)

(78, 0)

(0, 2)

(48, 0)

(26, 0)

(52, 0)

(92, 0)

(74, 0)

(20, 0)

(72, 0)

(96, 0)

(44, 0)

(30, 0)

(10, 0)

(54, 0)

(16, 0)

(68, 0)

(76, 0)

(98, 0)

(4, 0)

(82, 0)

(90, 0)

(38, 0)

(6, 0)

(56, 0)

(14, 0)

(32, 0)

(70, 0)

(42, 0)

(66, 0)

(12, 0)

(64, 0)

(100, 0)

(34, 0)

(28, 0)

(40, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(2δ(x)+δ(x−3)−2δ(x−1))=02 \left(2 \delta\left(x\right) + \delta\left(x - 3\right) - 2 \delta\left(x - 1\right)\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−x+((∣x−3∣−2∣x−1∣)+2∣x∣))+1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x + \left(\left(\left|{x - 3}\right| - 2 \left|{x - 1}\right|\right) + 2 \left|{x}\right|\right)\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−x+((∣x−3∣−2∣x−1∣)+2∣x∣))+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x + \left(\left(\left|{x - 3}\right| - 2 \left|{x - 1}\right|\right) + 2 \left|{x}\right|\right)\right) + 1\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x - 3| - 2*|x - 1| + 2*|x| - x + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x+((∣x−3∣−2∣x−1∣)+2∣x∣))+1x)=−2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x + \left(\left(\left|{x - 3}\right| - 2 \left|{x - 1}\right|\right) + 2 \left|{x}\right|\right)\right) + 1}{x}\right) = -2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−2xy = - 2 x
lim⁡x→∞((−x+((∣x−3∣−2∣x−1∣)+2∣x∣))+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \left(\left(\left|{x - 3}\right| - 2 \left|{x - 1}\right|\right) + 2 \left|{x}\right|\right)\right) + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x+((∣x−3∣−2∣x−1∣)+2∣x∣))+1=x+2∣x∣−2∣x+1∣+∣x+3∣+1\left(- x + \left(\left(\left|{x - 3}\right| - 2 \left|{x - 1}\right|\right) + 2 \left|{x}\right|\right)\right) + 1 = x + 2 \left|{x}\right| - 2 \left|{x + 1}\right| + \left|{x + 3}\right| + 1
- No
(−x+((∣x−3∣−2∣x−1∣)+2∣x∣))+1=−x−2∣x∣+2∣x+1∣−∣x+3∣−1\left(- x + \left(\left(\left|{x - 3}\right| - 2 \left|{x - 1}\right|\right) + 2 \left|{x}\right|\right)\right) + 1 = - x - 2 \left|{x}\right| + 2 \left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right| - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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