Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
y=2x
-
2*x^3-3*x
-
3-x^2
-
Expresiones idénticas
- (x- uno)(x- dos)^ dos
- (x menos 1)(x menos 2) al cuadrado
- (x menos uno)(x menos dos) en el grado dos
- (x-1)(x-2)2
- x-1x-22
- (x-1)(x-2)²
- (x-1)(x-2) en el grado 2
- x-1x-2^2
-
Expresiones semejantes
- (x-1)(x+2)^2
- (x+1)(x-2)^2
Gráfico de la función y = (x-1)(x-2)^2
Solución
Ha introducido
[src]
2 f(x) = (x - 1)*(x - 2)
$$f{\left(x \right)} = \left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)$$
f = (x - 2)^2*(x - 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 2\right)^{2} + \left(x - 1\right) \left(2 x - 4\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
$$x_{2} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{4}{3}\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{4}{3}, 2\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 2\right)^{2} + \left(x - 1\right) \left(2 x - 4\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
$$x_{2} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
(4/3, 4/27)
(2, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{4}{3}\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{4}{3}, 2\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 x - 5\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{5}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 x - 5\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{5}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 1)*(x - 2)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right) = \left(- x - 2\right)^{2} \left(- x - 1\right)$$
- No
$$\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right) = - \left(- x - 2\right)^{2} \left(- x - 1\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right) = \left(- x - 2\right)^{2} \left(- x - 1\right)$$
- No
$$\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right) = - \left(- x - 2\right)^{2} \left(- x - 1\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar