Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x-1)(x-2)^2

Gráfico de la función y = (x-1)(x-2)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                      2
f(x) = (x - 1)*(x - 2)
f(x)=(x−2)2(x−1)f{\left(x \right)} = \left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right) 
f = (x - 2)^2*(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−2)2(x−1)=0\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - 1)*(x - 2)^2.
−(−2)2- \left(-2\right)^{2}
Resultado:
f(0)=−4f{\left(0 \right)} = -4
Punto:
(0, -4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x−2)2+(x−1)(2x−4)=0\left(x - 2\right)^{2} + \left(x - 1\right) \left(2 x - 4\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=43x_{1} = \frac{4}{3}
x2=2x_{2} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(4/3, 4/27)

(2, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Puntos máximos de la función:
x1=43x_{1} = \frac{4}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,43]∪[2,∞)\left(-\infty, \frac{4}{3}\right] \cup \left[2, \infty\right)
Crece en los intervalos
[43,2]\left[\frac{4}{3}, 2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x−5)=02 \left(3 x - 5\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=53x_{1} = \frac{5}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[53,∞)\left[\frac{5}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,53]\left(-\infty, \frac{5}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x−2)2(x−1))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x−2)2(x−1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 1)*(x - 2)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−2)2(x−1)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x−2)2(x−1)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−2)2(x−1)=(−x−2)2(−x−1)\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right) = \left(- x - 2\right)^{2} \left(- x - 1\right)
- No
(x−2)2(x−1)=−(−x−2)2(−x−1)\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right) = - \left(- x - 2\right)^{2} \left(- x - 1\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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