Sr Examen

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|x^2-4|
Trazado el gráfico de la función/ |x^2-4|

Gráfico de la función y = |x^2-4|

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       | 2    |
f(x) = |x  - 4|
f(x)=∣x2−4∣f{\left(x \right)} = \left|{x^{2} - 4}\right| 
f = |x^2 - 4|
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣x2−4∣=0\left|{x^{2} - 4}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x^2 - 4|.
∣−4+02∣\left|{-4 + 0^{2}}\right|
Resultado:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Punto:
(0, 4)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(4x2δ(x2−4)+sign⁡(x2−4))=02 \left(4 x^{2} \delta\left(x^{2} - 4\right) + \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 4 \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞∣x2−4∣=∞\lim_{x \to -\infty} \left|{x^{2} - 4}\right| = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞∣x2−4∣=∞\lim_{x \to \infty} \left|{x^{2} - 4}\right| = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x^2 - 4|, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣x2−4∣x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x^{2} - 4}\right|}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(∣x2−4∣x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x^{2} - 4}\right|}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣x2−4∣=∣x2−4∣\left|{x^{2} - 4}\right| = \left|{x^{2} - 4}\right|
- Sí
∣x2−4∣=−∣x2−4∣\left|{x^{2} - 4}\right| = - \left|{x^{2} - 4}\right|
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = |x^2-4|
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