Sr Examen

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(5-4x)e^x
Trazado el gráfico de la función/ (5-4x)e^x

Gráfico de la función y = (5-4x)e^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  x
f(x) = (5 - 4*x)*E
f(x)=ex(5−4x)f{\left(x \right)} = e^{x} \left(5 - 4 x\right) 
f = E^x*(5 - 4*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10000001000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
ex(5−4x)=0e^{x} \left(5 - 4 x\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=54x_{1} = \frac{5}{4}
Solución numérica
x1=−79.182393229406x_{1} = -79.182393229406
x2=−59.3141197601814x_{2} = -59.3141197601814
x3=−113.078359769017x_{3} = -113.078359769017
x4=−105.096005506482x_{4} = -105.096005506482
x5=−109.086819829748x_{5} = -109.086819829748
x6=−95.1228332122747x_{6} = -95.1228332122747
x7=−45.5034493586155x_{7} = -45.5034493586155
x8=−67.2498537857137x_{8} = -67.2498537857137
x9=−87.1494373367173x_{9} = -87.1494373367173
x10=−85.1569988527312x_{10} = -85.1569988527312
x11=−61.2960644519732x_{11} = -61.2960644519732
x12=−63.2794412322068x_{12} = -63.2794412322068
x13=−71.2243046133053x_{13} = -71.2243046133053
x14=−33.8839602590177x_{14} = -33.8839602590177
x15=−91.1354624175195x_{15} = -91.1354624175195
x16=1.25x_{16} = 1.25
x17=−81.1734372801578x_{17} = -81.1734372801578
x18=−41.5926600171555x_{18} = -41.5926600171555
x19=−73.2127926752032x_{19} = -73.2127926752032
x20=−111.082504594721x_{20} = -111.082504594721
x21=−69.2366283719973x_{21} = -69.2366283719973
x22=−65.2640845870997x_{22} = -65.2640845870997
x23=−77.1919012414924x_{23} = -77.1919012414924
x24=−93.1289921013747x_{24} = -93.1289921013747
x25=−51.4052170340184x_{25} = -51.4052170340184
x26=−57.3338032364493x_{26} = -57.3338032364493
x27=−53.3790392355395x_{27} = -53.3790392355395
x28=−115.074375428221x_{28} = -115.074375428221
x29=−35.7899178935202x_{29} = -35.7899178935202
x30=−89.1422685075093x_{30} = -89.1422685075093
x31=−75.2020143539367x_{31} = -75.2020143539367
x32=−119.066852221839x_{32} = -119.066852221839
x33=−49.4343045393742x_{33} = -49.4343045393742
x34=−43.5450223021379x_{34} = -43.5450223021379
x35=−101.106014674414x_{35} = -101.106014674414
x36=−47.4668273857519x_{36} = -47.4668273857519
x37=−107.091316236591x_{37} = -107.091316236591
x38=−97.1169637104887x_{38} = -97.1169637104887
x39=−83.164986411661x_{39} = -83.164986411661
x40=−37.7126387967774x_{40} = -37.7126387967774
x41=−121.063297019985x_{41} = -121.063297019985
x42=−55.3553490317502x_{42} = -55.3553490317502
x43=−39.6478512113387x_{43} = -39.6478512113387
x44=−117.070542405779x_{44} = -117.070542405779
x45=−103.100900362124x_{45} = -103.100900362124
x46=−99.1113635954418x_{46} = -99.1113635954418
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (5 - 4*x)*E^x.
e0(5−0)e^{0} \left(5 - 0\right)
Resultado:
f(0)=5f{\left(0 \right)} = 5
Punto:
(0, 5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(5−4x)ex−4ex=0\left(5 - 4 x\right) e^{x} - 4 e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=14x_{1} = \frac{1}{4}
Signos de extremos en los puntos:
         1/4 
(1/4, 4*e   )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=14x_{1} = \frac{1}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,14]\left(-\infty, \frac{1}{4}\right]
Crece en los intervalos
[14,∞)\left[\frac{1}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(4x+3)ex=0- \left(4 x + 3\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−34x_{1} = - \frac{3}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−34]\left(-\infty, - \frac{3}{4}\right]
Convexa en los intervalos
[−34,∞)\left[- \frac{3}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(ex(5−4x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \left(5 - 4 x\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(ex(5−4x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \left(5 - 4 x\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (5 - 4*x)*E^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((5−4x)exx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(5 - 4 x\right) e^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((5−4x)exx)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5 - 4 x\right) e^{x}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
ex(5−4x)=(4x+5)e−xe^{x} \left(5 - 4 x\right) = \left(4 x + 5\right) e^{- x}
- No
ex(5−4x)=−(4x+5)e−xe^{x} \left(5 - 4 x\right) = - \left(4 x + 5\right) e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (5-4x)e^x
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