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Trazado el gráfico de la función/ (x/2)x+sinx

Gráfico de la función y = (x/2)x+sinx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x           
f(x) = -*x + sin(x)
       2
f(x)=xx2+sin⁡(x)f{\left(x \right)} = x \frac{x}{2} + \sin{\left(x \right)} 
f = x*(x/2) + sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xx2+sin⁡(x)=0x \frac{x}{2} + \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−1.40441482409243x_{1} = -1.40441482409243
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x/2)*x + sin(x).
002+sin⁡(0)0 \frac{0}{2} + \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x2+x2+cos⁡(x)=0\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−0.739085133215161x_{1} = -0.739085133215161
Signos de extremos en los puntos:
(-0.7390851332151607, -0.400488612113379)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−0.739085133215161x_{1} = -0.739085133215161
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−0.739085133215161,∞)\left[-0.739085133215161, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−0.739085133215161]\left(-\infty, -0.739085133215161\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
1−sin⁡(x)=01 - \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xx2+sin⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \frac{x}{2} + \sin{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xx2+sin⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x \frac{x}{2} + \sin{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x/2)*x + sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xx2+sin⁡(x)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \frac{x}{2} + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(xx2+sin⁡(x)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \frac{x}{2} + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xx2+sin⁡(x)=x22−sin⁡(x)x \frac{x}{2} + \sin{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{2} - \sin{\left(x \right)}
- No
xx2+sin⁡(x)=−x22+sin⁡(x)x \frac{x}{2} + \sin{\left(x \right)} = - \frac{x^{2}}{2} + \sin{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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