Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
(x+1)*(x-2)^2
-
Expresiones idénticas
- x+ tres /x- cuatro /x^ dos
- x más 3 dividir por x menos 4 dividir por x al cuadrado
- x más tres dividir por x menos cuatro dividir por x en el grado dos
- x+3/x-4/x2
- x+3/x-4/x²
- x+3/x-4/x en el grado 2
- x+3 dividir por x-4 dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- x+3/x+4/x^2
- x-3/x-4/x^2
Gráfico de la función y = x+3/x-4/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
3 4
f(x) = x + - - --
x 2
x
$$f{\left(x \right)} = \left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}$$
f = x + 3/x - 4/x^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.00000000000003$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.00000000000003$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$1 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$1 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}$$
Signos de extremos en los puntos:
_________________ _________________
3 / ____ 3 / ____
3 \/ 108 + 27*\/ 15 4 3 3 \/ 108 + 27*\/ 15
(- -------------------- - --------------------, - ------------------------------------------------ - -------------------- + --------------------------------------------- - --------------------)
_________________ 3 2 _________________ _________________ 3
3 / ____ / _________________\ 3 / ____ 3 / ____
\/ 108 + 27*\/ 15 | 3 / ____ | \/ 108 + 27*\/ 15 3 \/ 108 + 27*\/ 15
| 3 \/ 108 + 27*\/ 15 | - -------------------- - --------------------
|- -------------------- - --------------------| _________________ 3
| _________________ 3 | 3 / ____
| 3 / ____ | \/ 108 + 27*\/ 15
\ \/ 108 + 27*\/ 15 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[4, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 4\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[4, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 4\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x + 3/x - 4/x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}} = - x - \frac{3}{x} - \frac{4}{x^{2}}$$
- No
$$\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}} = x + \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}} = - x - \frac{3}{x} - \frac{4}{x^{2}}$$
- No
$$\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}} = x + \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar