Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ y=2cosx+1,5

Gráfico de la función y = y=2cosx+1,5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 2*cos(x) + 3/2
f(x)=2cos⁡(x)+32f{\left(x \right)} = 2 \cos{\left(x \right)} + \frac{3}{2} 
f = 2*cos(x) + 3/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2cos⁡(x)+32=02 \cos{\left(x \right)} + \frac{3}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−acos⁡(−34)+2πx_{1} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)} + 2 \pi
x2=acos⁡(−34)x_{2} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}
Solución numérica
x1=72.9793652803787x_{1} = 72.9793652803787
x2=21.2684143273151x_{2} = 21.2684143273151
x3=−84.100267399111x_{3} = -84.100267399111
x4=46.4011555560335x_{4} = 46.4011555560335
x5=54.1298093588399x_{5} = 54.1298093588399
x6=−54.1298093588399x_{6} = -54.1298093588399
x7=−91.8289212019174x_{7} = -91.8289212019174
x8=14.9852290201356x_{8} = 14.9852290201356
x9=−90.3834527062906x_{9} = -90.3834527062906
x10=16.4306975157624x_{10} = 16.4306975157624
x11=65.2507114775722x_{11} = 65.2507114775722
x12=35.2802534373011x_{12} = 35.2802534373011
x13=52.6843408632131x_{13} = 52.6843408632131
x14=−8.70204371295596x_{14} = -8.70204371295596
x15=71.5338967847518x_{15} = 71.5338967847518
x16=10.1475122085828x_{16} = 10.1475122085828
x17=2.41885840577638x_{17} = 2.41885840577638
x18=−33.8347849416743x_{18} = -33.8347849416743
x19=−72.9793652803787x_{19} = -72.9793652803787
x20=−14.9852290201356x_{20} = -14.9852290201356
x21=−77.8170820919314x_{21} = -77.8170820919314
x22=8.70204371295596x_{22} = 8.70204371295596
x23=−79.2625505875583x_{23} = -79.2625505875583
x24=−58.9675261703927x_{24} = -58.9675261703927
x25=98.112106509097x_{25} = 98.112106509097
x26=−52.6843408632131x_{26} = -52.6843408632131
x27=−71.5338967847518x_{27} = -71.5338967847518
x28=66.6961799731991x_{28} = 66.6961799731991
x29=91.8289212019174x_{29} = 91.8289212019174
x30=−85.5457358947378x_{30} = -85.5457358947378
x31=385.693162143731x_{31} = 385.693162143731
x32=85.5457358947378x_{32} = 85.5457358947378
x33=22.713882822942x_{33} = 22.713882822942
x34=79.2625505875583x_{34} = 79.2625505875583
x35=−66.6961799731991x_{35} = -66.6961799731991
x36=−3.86432690140321x_{36} = -3.86432690140321
x37=−60.4129946660195x_{37} = -60.4129946660195
x38=58.9675261703927x_{38} = 58.9675261703927
x39=−41.5634387444807x_{39} = -41.5634387444807
x40=27.5515996344947x_{40} = 27.5515996344947
x41=40.1179702488539x_{41} = 40.1179702488539
x42=77.8170820919314x_{42} = 77.8170820919314
x43=90.3834527062906x_{43} = 90.3834527062906
x44=28.9970681301216x_{44} = 28.9970681301216
x45=−98.112106509097x_{45} = -98.112106509097
x46=−27.5515996344947x_{46} = -27.5515996344947
x47=−22.713882822942x_{47} = -22.713882822942
x48=−46.4011555560335x_{48} = -46.4011555560335
x49=−65.2507114775722x_{49} = -65.2507114775722
x50=33.8347849416743x_{50} = 33.8347849416743
x51=−40.1179702488539x_{51} = -40.1179702488539
x52=−10.1475122085828x_{52} = -10.1475122085828
x53=−47.8466240516603x_{53} = -47.8466240516603
x54=3.86432690140321x_{54} = 3.86432690140321
x55=−21.2684143273151x_{55} = -21.2684143273151
x56=60.4129946660195x_{56} = 60.4129946660195
x57=123.244847737815x_{57} = 123.244847737815
x58=−16.4306975157624x_{58} = -16.4306975157624
x59=105094.976306292x_{59} = 105094.976306292
x60=96.6666380134702x_{60} = 96.6666380134702
x61=−28.9970681301216x_{61} = -28.9970681301216
x62=−2.41885840577638x_{62} = -2.41885840577638
x63=41.5634387444807x_{63} = 41.5634387444807
x64=−96.6666380134702x_{64} = -96.6666380134702
x65=47.8466240516603x_{65} = 47.8466240516603
x66=84.100267399111x_{66} = 84.100267399111
x67=−35.2802534373011x_{67} = -35.2802534373011
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*cos(x) + 3/2.
32+2cos⁡(0)\frac{3}{2} + 2 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=72f{\left(0 \right)} = \frac{7}{2}
Punto:
(0, 7/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 7/2)

(pi, -1/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2cos⁡(x)=0- 2 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(x)+32)=⟨−12,72⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left(x \right)} + \frac{3}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−12,72⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(2cos⁡(x)+32)=⟨−12,72⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left(x \right)} + \frac{3}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−12,72⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*cos(x) + 3/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(x)+32x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)} + \frac{3}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2cos⁡(x)+32x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)} + \frac{3}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2cos⁡(x)+32=2cos⁡(x)+322 \cos{\left(x \right)} + \frac{3}{2} = 2 \cos{\left(x \right)} + \frac{3}{2}
- Sí
2cos⁡(x)+32=−2cos⁡(x)−322 \cos{\left(x \right)} + \frac{3}{2} = - 2 \cos{\left(x \right)} - \frac{3}{2}
- No
es decir, función
es
par
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