Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x*exp(-x)
-
(1/2)^x
-
-x^2+3*x
-
(x-3)^2
-
Expresiones idénticas
- x^ cuatro - dos x^ tres -12x^2+24x+ ocho
- x en el grado 4 menos 2x al cubo menos 12x al cuadrado más 24x más 8
- x en el grado cuatro menos dos x en el grado tres menos 12x al cuadrado más 24x más ocho
- x4-2x3-12x2+24x+8
- x⁴-2x³-12x²+24x+8
- x en el grado 4-2x en el grado 3-12x en el grado 2+24x+8
-
Expresiones semejantes
- x^4+2x^3-12x^2+24x+8
- x^4-2x^3-12x^2+24x-8
- x^4-2x^3-12x^2-24x+8
- x^4-2x^3+12x^2+24x+8
Gráfico de la función y = x^4-2x^3-12x^2+24x+8
Solución
Ha introducido
[src]
4 3 2 f(x) = x - 2*x - 12*x + 24*x + 8
$$f{\left(x \right)} = \left(24 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)\right)\right) + 8$$
f = 24*x - 12*x^2 + x^4 - 2*x^3 + 8
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(24 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)\right)\right) + 8 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{9 + \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}}{2} - \frac{\sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}} + \frac{22}{\sqrt{9 + \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}} - \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{9 + \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}}{2} + \frac{\sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}} + \frac{22}{\sqrt{9 + \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}} - \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{9 + \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}}{2} - \frac{\sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}} - \frac{22}{\sqrt{9 + \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}} - \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}} - \frac{22}{\sqrt{9 + \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}} - \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}}}{2} + \frac{\sqrt{9 + \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -3.40064779266066$$
$$x_{2} = 3.11308057369684$$
$$x_{3} = 2.58041892181845$$
$$x_{4} = -0.29285170285463$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(24 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)\right)\right) + 8 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{9 + \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}}{2} - \frac{\sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}} + \frac{22}{\sqrt{9 + \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}} - \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{9 + \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}}{2} + \frac{\sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}} + \frac{22}{\sqrt{9 + \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}} - \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{9 + \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}}{2} - \frac{\sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}} - \frac{22}{\sqrt{9 + \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}} - \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}} - \frac{22}{\sqrt{9 + \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}} - \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}}}{2} + \frac{\sqrt{9 + \frac{64}{3 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{34 + \frac{2 \sqrt{1167} i}{9}}}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -3.40064779266066$$
$$x_{2} = 3.11308057369684$$
$$x_{3} = 2.58041892181845$$
$$x_{4} = -0.29285170285463$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 24 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt[3]{\frac{297}{8} + \frac{27 \sqrt{38} i}{2}}}{3} - \frac{27}{4 \sqrt[3]{\frac{297}{8} + \frac{27 \sqrt{38} i}{2}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2} - 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4 \sqrt{38}}{11} \right)}}{3} \right)}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2} - 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4 \sqrt{38}}{11} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2} - 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4 \sqrt{38}}{11} \right)}}{3} \right)}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 24 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt[3]{\frac{297}{8} + \frac{27 \sqrt{38} i}{2}}}{3} - \frac{27}{4 \sqrt[3]{\frac{297}{8} + \frac{27 \sqrt{38} i}{2}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
4 2 3
___________________ / ___________________\ / ___________________\ / ___________________\
/ ____ | / ____ | | / ____ | | / ____ |
/ 297 27*I*\/ 38 | / 297 27*I*\/ 38 | | / 297 27*I*\/ 38 | ___________________ | / 297 27*I*\/ 38 |
3 / --- + ----------- | 3 / --- + ----------- | | 3 / --- + ----------- | / ____ | 3 / --- + ----------- |
1 27 \/ 8 2 |1 27 \/ 8 2 | 162 |1 27 \/ 8 2 | / 297 27*I*\/ 38 |1 27 \/ 8 2 |
(- - -------------------------- - ------------------------, 20 + |- - -------------------------- - ------------------------| - ------------------------ - 12*|- - -------------------------- - ------------------------| - 8*3 / --- + ----------- - 2*|- - -------------------------- - ------------------------| )
2 ___________________ 3 |2 ___________________ 3 | ___________________ |2 ___________________ 3 | \/ 8 2 |2 ___________________ 3 |
/ ____ | / ____ | / ____ | / ____ | | / ____ |
/ 297 27*I*\/ 38 | / 297 27*I*\/ 38 | / 297 27*I*\/ 38 | / 297 27*I*\/ 38 | | / 297 27*I*\/ 38 |
4*3 / --- + ----------- | 4*3 / --- + ----------- | 3 / --- + ----------- | 4*3 / --- + ----------- | | 4*3 / --- + ----------- |
\/ 8 2 \ \/ 8 2 / \/ 8 2 \ \/ 8 2 / \ \/ 8 2 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2} - 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4 \sqrt{38}}{11} \right)}}{3} \right)}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2} - 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4 \sqrt{38}}{11} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2} - 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4 \sqrt{38}}{11} \right)}}{3} \right)}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$12 \left(x^{2} - x - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-1, 2\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$12 \left(x^{2} - x - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-1, 2\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(24 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)\right)\right) + 8\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(24 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)\right)\right) + 8\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(24 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)\right)\right) + 8\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(24 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)\right)\right) + 8\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 2*x^3 - 12*x^2 + 24*x + 8, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(24 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)\right)\right) + 8}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(24 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)\right)\right) + 8}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(24 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)\right)\right) + 8}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(24 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)\right)\right) + 8}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(24 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)\right)\right) + 8 = x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + 8$$
- No
$$\left(24 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)\right)\right) + 8 = - x^{4} - 2 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 8$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(24 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)\right)\right) + 8 = x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + 8$$
- No
$$\left(24 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)\right)\right) + 8 = - x^{4} - 2 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 8$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar