Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (3x^2+4x-1)/(3x+2)

Gráfico de la función y = (3x^2+4x-1)/(3x+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2          
       3*x  + 4*x - 1
f(x) = --------------
          3*x + 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(3 x^{2} + 4 x\right) - 1}{3 x + 2}$$ 
f = (3*x^2 + 4*x - 1)/(3*x + 2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -0.666666666666667$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(3 x^{2} + 4 x\right) - 1}{3 x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{2}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.54858377035486$$
$$x_{2} = 0.21525043702153$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (3*x^2 + 4*x - 1)/(3*x + 2).
$$\frac{-1 + \left(3 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 4\right)}{0 \cdot 3 + 2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{2}$$
Punto:
(0, -1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{6 x + 4}{3 x + 2} - \frac{3 \left(\left(3 x^{2} + 4 x\right) - 1\right)}{\left(3 x + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 \left(-1 + \frac{3 \left(3 x^{2} + 4 x - 1\right)}{\left(3 x + 2\right)^{2}}\right)}{3 x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -0.666666666666667$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} + 4 x\right) - 1}{3 x + 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} + 4 x\right) - 1}{3 x + 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3*x^2 + 4*x - 1)/(3*x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} + 4 x\right) - 1}{x \left(3 x + 2\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} + 4 x\right) - 1}{x \left(3 x + 2\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(3 x^{2} + 4 x\right) - 1}{3 x + 2} = \frac{3 x^{2} - 4 x - 1}{2 - 3 x}$$
- No
$$\frac{\left(3 x^{2} + 4 x\right) - 1}{3 x + 2} = - \frac{3 x^{2} - 4 x - 1}{2 - 3 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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