Sr Examen

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sqrt(25-y^2)
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(25-y^2)

Gráfico de la función y = sqrt(25-y^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          _________
         /       2 
f(y) = \/  25 - y
f(y)=25−y2f{\left(y \right)} = \sqrt{25 - y^{2}} 
f = sqrt(25 - y^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
25−y2=0\sqrt{25 - y^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:

Solución analítica
y1=−5y_{1} = -5
y2=5y_{2} = 5
Solución numérica
y1=−5y_{1} = -5
y2=5y_{2} = 5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando y es igual a 0:
sustituimos y = 0 en sqrt(25 - y^2).
25−02\sqrt{25 - 0^{2}}
Resultado:
f(0)=5f{\left(0 \right)} = 5
Punto:
(0, 5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddyf(y)=0\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddyf(y)=\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} =
primera derivada
−y25−y2=0- \frac{y}{\sqrt{25 - y^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
y1=0y_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 5)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
y1=0y_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dy2f(y)=0\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dy2f(y)=\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} =
segunda derivada
−y225−y2+125−y2=0- \frac{\frac{y^{2}}{25 - y^{2}} + 1}{\sqrt{25 - y^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
lim⁡y→−∞25−y2=∞i\lim_{y \to -\infty} \sqrt{25 - y^{2}} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡y→∞25−y2=∞i\lim_{y \to \infty} \sqrt{25 - y^{2}} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(25 - y^2), dividida por y con y->+oo y y ->-oo
lim⁡y→−∞(25−y2y)=−i\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{25 - y^{2}}}{y}\right) = - i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−iyy = - i y
lim⁡y→∞(25−y2y)=i\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\sqrt{25 - y^{2}}}{y}\right) = i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=iyy = i y
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
25−y2=25−y2\sqrt{25 - y^{2}} = \sqrt{25 - y^{2}}
- Sí
25−y2=−25−y2\sqrt{25 - y^{2}} = - \sqrt{25 - y^{2}}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(25-y^2)
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