Sr Examen

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1/(1+y^2)
Trazado el gráfico de la función/ 1/(1+y^2)

Gráfico de la función y = 1/(1+y^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         1   
f(y) = ------
            2
       1 + y
f(y)=1y2+1f{\left(y \right)} = \frac{1}{y^{2} + 1} 
f = 1/(y^2 + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1y2+1=0\frac{1}{y^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje Y
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando y es igual a 0:
sustituimos y = 0 en 1/(1 + y^2).
102+1\frac{1}{0^{2} + 1}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddyf(y)=0\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddyf(y)=\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} =
primera derivada
−2y(y2+1)2=0- \frac{2 y}{\left(y^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
y1=0y_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
y1=0y_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dy2f(y)=0\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dy2f(y)=\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} =
segunda derivada
2(4y2y2+1−1)(y2+1)2=0\frac{2 \left(\frac{4 y^{2}}{y^{2} + 1} - 1\right)}{\left(y^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
y1=−33y_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}
y2=33y_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−33]∪[33,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−33,33]\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
lim⁡y→−∞1y2+1=0\lim_{y \to -\infty} \frac{1}{y^{2} + 1} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡y→∞1y2+1=0\lim_{y \to \infty} \frac{1}{y^{2} + 1} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(1 + y^2), dividida por y con y->+oo y y ->-oo
lim⁡y→−∞(1y(y2+1))=0\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{1}{y \left(y^{2} + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡y→∞(1y(y2+1))=0\lim_{y \to \infty}\left(\frac{1}{y \left(y^{2} + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
1y2+1=1y2+1\frac{1}{y^{2} + 1} = \frac{1}{y^{2} + 1}
- Sí
1y2+1=−1y2+1\frac{1}{y^{2} + 1} = - \frac{1}{y^{2} + 1}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = 1/(1+y^2)
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