Sr Examen

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-4x^3+5x^2-2x+1
Trazado el gráfico de la función/ -4x^3+5x^2-2x+1

Gráfico de la función y = -4x^3+5x^2-2x+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            3      2          
f(x) = - 4*x  + 5*x  - 2*x + 1
f(x)=(−2x+(−4x3+5x2))+1f{\left(x \right)} = \left(- 2 x + \left(- 4 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) + 1 
f = -2*x - 4*x^3 + 5*x^2 + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−2x+(−4x3+5x2))+1=0\left(- 2 x + \left(- 4 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -4*x^3 + 5*x^2 - 2*x + 1.
((−4⋅03+5⋅02)−0)+1\left(\left(- 4 \cdot 0^{3} + 5 \cdot 0^{2}\right) - 0\right) + 1
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−12x2+10x−2=0- 12 x^{2} + 10 x - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
      20 
(1/3, --)
      27 

(1/2, 3/4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
[13,12]\left[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,13]∪[12,∞)\left(-\infty, \frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(5−12x)=02 \left(5 - 12 x\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=512x_{1} = \frac{5}{12}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,512]\left(-\infty, \frac{5}{12}\right]
Convexa en los intervalos
[512,∞)\left[\frac{5}{12}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−2x+(−4x3+5x2))+1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 2 x + \left(- 4 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−2x+(−4x3+5x2))+1)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 2 x + \left(- 4 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) + 1\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -4*x^3 + 5*x^2 - 2*x + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−2x+(−4x3+5x2))+1x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(- 4 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) + 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−2x+(−4x3+5x2))+1x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(- 4 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) + 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−2x+(−4x3+5x2))+1=4x3+5x2+2x+1\left(- 2 x + \left(- 4 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) + 1 = 4 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 1
- No
(−2x+(−4x3+5x2))+1=−4x3−5x2−2x−1\left(- 2 x + \left(- 4 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) + 1 = - 4 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -4x^3+5x^2-2x+1
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