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(x^2-2)^2
Trazado el gráfico de la función/ (x^2-2)^2

Gráfico de la función y = (x^2-2)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               2
       / 2    \ 
f(x) = \x  - 2/
f(x)=(x2−2)2f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 2\right)^{2} 
f = (x^2 - 2)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−2)2=0\left(x^{2} - 2\right)^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = - \sqrt{2}
x2=2x_{2} = \sqrt{2}
Solución numérica
x1=1.4142135623731x_{1} = 1.4142135623731
x2=−1.4142135623731x_{2} = -1.4142135623731
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 2)^2.
(−2+02)2\left(-2 + 0^{2}\right)^{2}
Resultado:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x(x2−2)=04 x \left(x^{2} - 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2x_{2} = - \sqrt{2}
x3=2x_{3} = \sqrt{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 4)

    ___    
(-\/ 2, 0)

   ___    
(\/ 2, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2x_{1} = - \sqrt{2}
x2=2x_{2} = \sqrt{2}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−2,0]∪[2,∞)\left[- \sqrt{2}, 0\right] \cup \left[\sqrt{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2]∪[0,2]\left(-\infty, - \sqrt{2}\right] \cup \left[0, \sqrt{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(3x2−2)=04 \left(3 x^{2} - 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−63x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{3}
x2=63x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−63]∪[63,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−63,63]\left[- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2−2)2=∞\lim_{x \to -\infty} \left(x^{2} - 2\right)^{2} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2−2)2=∞\lim_{x \to \infty} \left(x^{2} - 2\right)^{2} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 2)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−2)2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2\right)^{2}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x2−2)2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2\right)^{2}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−2)2=(x2−2)2\left(x^{2} - 2\right)^{2} = \left(x^{2} - 2\right)^{2}
- Sí
(x2−2)2=−(x2−2)2\left(x^{2} - 2\right)^{2} = - \left(x^{2} - 2\right)^{2}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^2-2)^2
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