Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
y=2x
-
2*x^3-3*x
-
3-x^2
-
Expresiones idénticas
- ((x- dos)/(x+ uno))^ dos
- ((x menos 2) dividir por (x más 1)) al cuadrado
- ((x menos dos) dividir por (x más uno)) en el grado dos
- ((x-2)/(x+1))2
- x-2/x+12
- ((x-2)/(x+1))²
- ((x-2)/(x+1)) en el grado 2
- x-2/x+1^2
- ((x-2) dividir por (x+1))^2
-
Expresiones semejantes
- ((x-2)/(x-1))^2
- ((x+2)/(x+1))^2
Gráfico de la función y = ((x-2)/(x+1))^2
Solución
Ha introducido
[src]
2
/x - 2\
f(x) = |-----|
\x + 1/
$$f{\left(x \right)} = \left(\frac{x - 2}{x + 1}\right)^{2}$$
f = ((x - 2)/(x + 1))^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\frac{x - 2}{x + 1}\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 2.00000024836257$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\frac{x - 2}{x + 1}\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 2.00000024836257$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(x + 1\right) \left(- \frac{2 \left(x - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{x + 1}\right)}{x - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(x + 1\right) \left(- \frac{2 \left(x - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{x + 1}\right)}{x - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
(2, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{x - 2}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{7}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x - 2}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x - 2}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{7}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{7}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{x - 2}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{7}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x - 2}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x - 2}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{7}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{7}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 2}{x + 1}\right)^{2} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 1}\right)^{2} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 2}{x + 1}\right)^{2} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 1}\right)^{2} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 2)/(x + 1))^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right)^{2} \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right)^{2} \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right)^{2} \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right)^{2} \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\frac{x - 2}{x + 1}\right)^{2} = \frac{\left(- x - 2\right)^{2}}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
$$\left(\frac{x - 2}{x + 1}\right)^{2} = - \frac{\left(- x - 2\right)^{2}}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(\frac{x - 2}{x + 1}\right)^{2} = \frac{\left(- x - 2\right)^{2}}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
$$\left(\frac{x - 2}{x + 1}\right)^{2} = - \frac{\left(- x - 2\right)^{2}}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico