Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ((x-3)*(x+2)/(x+2)*(x-3)*(x-4))

Gráfico de la función y = ((x-3)*(x+2)/(x+2)*(x-3)*(x-4))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       (x - 3)*(x + 2)                
f(x) = ---------------*(x - 3)*(x - 4)
            x + 2
f(x)=(x−3)(x+2)x+2(x−3)(x−4)f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} \left(x - 3\right) \left(x - 4\right) 
f = ((((x - 3)*(x + 2))/(x + 2))*(x - 3))*(x - 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−3)(x+2)x+2(x−3)(x−4)=0\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} \left(x - 3\right) \left(x - 4\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3x_{1} = 3
x2=4x_{2} = 4
Solución numérica
x1=3x_{1} = 3
x2=4x_{2} = 4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((((x - 3)*(x + 2))/(x + 2))*(x - 3))*(x - 4).
(−4)(−3)(−1)2⋅32\left(-4\right) \left(-3\right) \frac{\left(-1\right) 2 \cdot 3}{2}
Resultado:
f(0)=−36f{\left(0 \right)} = -36
Punto:
(0, -36)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x−3)(x+2)x+2(x−3)+(x−4)((x−3)(x+2)x+2+(x−3)(−x−3x+2+2x−1x+2))=0\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} \left(x - 3\right) + \left(x - 4\right) \left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} + \left(x - 3\right) \left(- \frac{x - 3}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{x + 2}\right)\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3x_{1} = 3
x2=113x_{2} = \frac{11}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(3, 0)

(11/3, -4/27)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=113x_{1} = \frac{11}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=3x_{1} = 3
Decrece en los intervalos
(−∞,3]∪[113,∞)\left(-\infty, 3\right] \cup \left[\frac{11}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[3,113]\left[3, \frac{11}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x−(−x−2)(x−3)x+2+(x−4)(x+(x−3)(x−3x+2+1−2x−1x+2)+2)x+2−3)=02 \left(x - \frac{\left(- x - 2\right) \left(x - 3\right)}{x + 2} + \frac{\left(x - 4\right) \left(x + \left(x - 3\right) \left(\frac{x - 3}{x + 2} + 1 - \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) + 2\right)}{x + 2} - 3\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=103x_{1} = \frac{10}{3}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2x_{1} = -2

lim⁡x→−2−(2(x−(−x−2)(x−3)x+2+(x−4)(x+(x−3)(x−3x+2+1−2x−1x+2)+2)x+2−3))=−32\lim_{x \to -2^-}\left(2 \left(x - \frac{\left(- x - 2\right) \left(x - 3\right)}{x + 2} + \frac{\left(x - 4\right) \left(x + \left(x - 3\right) \left(\frac{x - 3}{x + 2} + 1 - \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) + 2\right)}{x + 2} - 3\right)\right) = -32
lim⁡x→−2+(2(x−(−x−2)(x−3)x+2+(x−4)(x+(x−3)(x−3x+2+1−2x−1x+2)+2)x+2−3))=−32\lim_{x \to -2^+}\left(2 \left(x - \frac{\left(- x - 2\right) \left(x - 3\right)}{x + 2} + \frac{\left(x - 4\right) \left(x + \left(x - 3\right) \left(\frac{x - 3}{x + 2} + 1 - \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) + 2\right)}{x + 2} - 3\right)\right) = -32
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[103,∞)\left[\frac{10}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,103]\left(-\infty, \frac{10}{3}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x−3)(x+2)x+2(x−3)(x−4))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} \left(x - 3\right) \left(x - 4\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x−3)(x+2)x+2(x−3)(x−4))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} \left(x - 3\right) \left(x - 4\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((((x - 3)*(x + 2))/(x + 2))*(x - 3))*(x - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−4)(x−3)2x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right)^{2}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x−4)(x−3)2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right)^{2}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−3)(x+2)x+2(x−3)(x−4)=(−x−4)(−x−3)2\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} \left(x - 3\right) \left(x - 4\right) = \left(- x - 4\right) \left(- x - 3\right)^{2}
- No
(x−3)(x+2)x+2(x−3)(x−4)=−(−x−4)(−x−3)2\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} \left(x - 3\right) \left(x - 4\right) = - \left(- x - 4\right) \left(- x - 3\right)^{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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