Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-x^3
-
x^2/(x-3)
-
x^2/(x^2+1)
-
-x^3+x
-
Expresiones idénticas
- ((x- tres)*(x+ dos)/(x+ dos)*(x- tres)*(x- cuatro))
- ((x menos 3) multiplicar por (x más 2) dividir por (x más 2) multiplicar por (x menos 3) multiplicar por (x menos 4))
- ((x menos tres) multiplicar por (x más dos) dividir por (x más dos) multiplicar por (x menos tres) multiplicar por (x menos cuatro))
- ((x-3)(x+2)/(x+2)(x-3)(x-4))
- x-3x+2/x+2x-3x-4
- ((x-3)*(x+2) dividir por (x+2)*(x-3)*(x-4))
-
Expresiones semejantes
- ((x+3)*(x+2)/(x+2)*(x-3)*(x-4))
- ((x-3)*(x-2)/(x+2)*(x-3)*(x-4))
- ((x-3)*(x+2)/(x-2)*(x-3)*(x-4))
- ((x-3)*(x+2)/(x+2)*(x+3)*(x-4))
- ((x-3)*(x+2)/(x+2)*(x-3)*(x+4))
Gráfico de la función y = ((x-3)*(x+2)/(x+2)*(x-3)*(x-4))
Solución
Ha introducido
[src]
(x - 3)*(x + 2)
f(x) = ---------------*(x - 3)*(x - 4)
x + 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} \left(x - 3\right) \left(x - 4\right)$$
f = ((((x - 3)*(x + 2))/(x + 2))*(x - 3))*(x - 4)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} \left(x - 3\right) \left(x - 4\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 4$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} \left(x - 3\right) \left(x - 4\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 4$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} \left(x - 3\right) + \left(x - 4\right) \left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} + \left(x - 3\right) \left(- \frac{x - 3}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{x + 2}\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = \frac{11}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{11}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3\right] \cup \left[\frac{11}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[3, \frac{11}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} \left(x - 3\right) + \left(x - 4\right) \left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} + \left(x - 3\right) \left(- \frac{x - 3}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{x + 2}\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = \frac{11}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(3, 0)
(11/3, -4/27)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{11}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3\right] \cup \left[\frac{11}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[3, \frac{11}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(x - \frac{\left(- x - 2\right) \left(x - 3\right)}{x + 2} + \frac{\left(x - 4\right) \left(x + \left(x - 3\right) \left(\frac{x - 3}{x + 2} + 1 - \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) + 2\right)}{x + 2} - 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{10}{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(2 \left(x - \frac{\left(- x - 2\right) \left(x - 3\right)}{x + 2} + \frac{\left(x - 4\right) \left(x + \left(x - 3\right) \left(\frac{x - 3}{x + 2} + 1 - \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) + 2\right)}{x + 2} - 3\right)\right) = -32$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(2 \left(x - \frac{\left(- x - 2\right) \left(x - 3\right)}{x + 2} + \frac{\left(x - 4\right) \left(x + \left(x - 3\right) \left(\frac{x - 3}{x + 2} + 1 - \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) + 2\right)}{x + 2} - 3\right)\right) = -32$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{10}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{10}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(x - \frac{\left(- x - 2\right) \left(x - 3\right)}{x + 2} + \frac{\left(x - 4\right) \left(x + \left(x - 3\right) \left(\frac{x - 3}{x + 2} + 1 - \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) + 2\right)}{x + 2} - 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{10}{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(2 \left(x - \frac{\left(- x - 2\right) \left(x - 3\right)}{x + 2} + \frac{\left(x - 4\right) \left(x + \left(x - 3\right) \left(\frac{x - 3}{x + 2} + 1 - \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) + 2\right)}{x + 2} - 3\right)\right) = -32$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(2 \left(x - \frac{\left(- x - 2\right) \left(x - 3\right)}{x + 2} + \frac{\left(x - 4\right) \left(x + \left(x - 3\right) \left(\frac{x - 3}{x + 2} + 1 - \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) + 2\right)}{x + 2} - 3\right)\right) = -32$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{10}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{10}{3}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} \left(x - 3\right) \left(x - 4\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} \left(x - 3\right) \left(x - 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} \left(x - 3\right) \left(x - 4\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} \left(x - 3\right) \left(x - 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((((x - 3)*(x + 2))/(x + 2))*(x - 3))*(x - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right)^{2}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right)^{2}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right)^{2}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right)^{2}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} \left(x - 3\right) \left(x - 4\right) = \left(- x - 4\right) \left(- x - 3\right)^{2}$$
- No
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} \left(x - 3\right) \left(x - 4\right) = - \left(- x - 4\right) \left(- x - 3\right)^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} \left(x - 3\right) \left(x - 4\right) = \left(- x - 4\right) \left(- x - 3\right)^{2}$$
- No
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x + 2} \left(x - 3\right) \left(x - 4\right) = - \left(- x - 4\right) \left(- x - 3\right)^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar