Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$2 \left(x - \frac{\left(- x - 2\right) \left(x - 3\right)}{x + 2} + \frac{\left(x - 4\right) \left(x + \left(x - 3\right) \left(\frac{x - 3}{x + 2} + 1 - \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) + 2\right)}{x + 2} - 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{10}{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(2 \left(x - \frac{\left(- x - 2\right) \left(x - 3\right)}{x + 2} + \frac{\left(x - 4\right) \left(x + \left(x - 3\right) \left(\frac{x - 3}{x + 2} + 1 - \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) + 2\right)}{x + 2} - 3\right)\right) = -32$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(2 \left(x - \frac{\left(- x - 2\right) \left(x - 3\right)}{x + 2} + \frac{\left(x - 4\right) \left(x + \left(x - 3\right) \left(\frac{x - 3}{x + 2} + 1 - \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) + 2\right)}{x + 2} - 3\right)\right) = -32$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{10}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{10}{3}\right]$$