Sr Examen

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Gráfico de la función y = (x^2)-(|x+1|)/(x+1)-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        2   |x + 1|    
f(x) = x  - ------- - 1
             x + 1     
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - \frac{\left|{x + 1}\right|}{x + 1}\right) - 1$$
f = x^2 - |x + 1|/(x + 1) - 1
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} - \frac{\left|{x + 1}\right|}{x + 1}\right) - 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \sqrt{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.4142135623731$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2 - |x + 1|/(x + 1) - 1.
$$\left(- \frac{\left|{1}\right|}{1} + 0^{2}\right) - 1$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -2$$
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x - \frac{\operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}}{x + 1} + \frac{\left|{x + 1}\right|}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, -2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - \frac{\left|{x + 1}\right|}{x + 1}\right) - 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - \frac{\left|{x + 1}\right|}{x + 1}\right) - 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 - |x + 1|/(x + 1) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - \frac{\left|{x + 1}\right|}{x + 1}\right) - 1}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - \frac{\left|{x + 1}\right|}{x + 1}\right) - 1}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} - \frac{\left|{x + 1}\right|}{x + 1}\right) - 1 = x^{2} - 1 - \frac{\left|{x - 1}\right|}{1 - x}$$
- No
$$\left(x^{2} - \frac{\left|{x + 1}\right|}{x + 1}\right) - 1 = - x^{2} + 1 + \frac{\left|{x - 1}\right|}{1 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar