Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
x^3/
-
x^4-3*x^2+4
-
Expresiones idénticas
- x^ dos *(dos *x-x^ tres)
- x al cuadrado multiplicar por (2 multiplicar por x menos x al cubo )
- x en el grado dos multiplicar por (dos multiplicar por x menos x en el grado tres)
- x2*(2*x-x3)
- x2*2*x-x3
- x²*(2*x-x³)
- x en el grado 2*(2*x-x en el grado 3)
- x^2(2x-x^3)
- x2(2x-x3)
- x22x-x3
- x^22x-x^3
-
Expresiones semejantes
- x^2*(2*x+x^3)
Gráfico de la función y = x^2*(2*x-x^3)
Solución
Ha introducido
[src]
2 / 3\ f(x) = x *\2*x - x /
$$f{\left(x \right)} = x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right)$$
f = x^2*(-x^3 + 2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \sqrt{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.4142135623731$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -1.4142135623731$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \sqrt{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.4142135623731$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -1.4142135623731$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$x^{2} \left(2 - 3 x^{2}\right) + 2 x \left(- x^{3} + 2 x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{30}}{5}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{30}}{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{30}}{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{30}}{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{30}}{5}, \frac{\sqrt{30}}{5}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{30}}{5}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{30}}{5}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$x^{2} \left(2 - 3 x^{2}\right) + 2 x \left(- x^{3} + 2 x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{30}}{5}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{30}}{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
____ ____
-\/ 30 -24*\/ 30
(--------, ----------)
5 125 ____ ____ \/ 30 24*\/ 30 (------, ---------) 5 125
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{30}}{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{30}}{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{30}}{5}, \frac{\sqrt{30}}{5}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{30}}{5}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{30}}{5}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 x \left(3 - 5 x^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{15}}{5}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{15}}{5}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{5}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 x \left(3 - 5 x^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{15}}{5}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{15}}{5}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{5}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2*(2*x - x^3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(- x^{3} + 2 x\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(- x^{3} + 2 x\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(- x^{3} + 2 x\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(- x^{3} + 2 x\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right) = x^{2} \left(x^{3} - 2 x\right)$$
- No
$$x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right) = - x^{2} \left(x^{3} - 2 x\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right) = x^{2} \left(x^{3} - 2 x\right)$$
- No
$$x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right) = - x^{2} \left(x^{3} - 2 x\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico