Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 5sinx+2cosx

Gráfico de la función y = 5sinx+2cosx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 5*sin(x) + 2*cos(x)
f(x)=5sin⁡(x)+2cos⁡(x)f{\left(x \right)} = 5 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} 
f = 5*sin(x) + 2*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
5sin⁡(x)+2cos⁡(x)=05 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−atan⁡(25)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{5} \right)}
Solución numérica
x1=12.1858642372468x_{1} = 12.1858642372468
x2=−160.601731710192x_{2} = -160.601731710192
x3=9.04427158365701x_{3} = 9.04427158365701
x4=56.1681613875039x_{4} = 56.1681613875039
x5=53.0265687339141x_{5} = 53.0265687339141
x6=84.4424952698121x_{6} = 84.4424952698121
x7=2.76108627647743x_{7} = 2.76108627647743
x8=71.8761246554529x_{8} = 71.8761246554529
x9=59.3097540410937x_{9} = 59.3097540410937
x10=15.3274568908366x_{10} = 15.3274568908366
x11=−0.380506377112365x_{11} = -0.380506377112365
x12=−85.2035080240368x_{12} = -85.2035080240368
x13=−9.80528433788174x_{13} = -9.80528433788174
x14=−97.769878638396x_{14} = -97.769878638396
x15=93.8672732305814x_{15} = 93.8672732305814
x16=−94.6282859848062x_{16} = -94.6282859848062
x17=75.0177173090427x_{17} = 75.0177173090427
x18=−100.911471291986x_{18} = -100.911471291986
x19=46.7433834267345x_{19} = 46.7433834267345
x20=78.1593099626325x_{20} = 78.1593099626325
x21=−3.52209903070216x_{21} = -3.52209903070216
x22=−6.66369168429195x_{22} = -6.66369168429195
x23=−91.4866933312164x_{23} = -91.4866933312164
x24=−47.5043961809593x_{24} = -47.5043961809593
x25=62.4513466946835x_{25} = 62.4513466946835
x26=5.90267893006722x_{26} = 5.90267893006722
x27=−31.7964329130103x_{27} = -31.7964329130103
x28=100.150458537761x_{28} = 100.150458537761
x29=−34.9380255666001x_{29} = -34.9380255666001
x30=−25.5132476058307x_{30} = -25.5132476058307
x31=31.0354201587856x_{31} = 31.0354201587856
x32=−88.3451006776266x_{32} = -88.3451006776266
x33=−63.2123594489082x_{33} = -63.2123594489082
x34=−82.061915370447x_{34} = -82.061915370447
x35=87.5840879234018x_{35} = 87.5840879234018
x36=−12.9468769914715x_{36} = -12.9468769914715
x37=−19.2300622986511x_{37} = -19.2300622986511
x38=−44.3628035273695x_{38} = -44.3628035273695
x39=24.752234851606x_{39} = 24.752234851606
x40=−69.4955447560878x_{40} = -69.4955447560878
x41=−50.6459888345491x_{41} = -50.6459888345491
x42=−28.6548402594205x_{42} = -28.6548402594205
x43=90.7256805769916x_{43} = 90.7256805769916
x44=−66.353952102498x_{44} = -66.353952102498
x45=−75.7787300632674x_{45} = -75.7787300632674
x46=40.4601981195549x_{46} = 40.4601981195549
x47=34.1770128123754x_{47} = 34.1770128123754
x48=97.0088658841712x_{48} = 97.0088658841712
x49=−78.9203227168572x_{49} = -78.9203227168572
x50=−53.7875814881388x_{50} = -53.7875814881388
x51=−72.6371374096776x_{51} = -72.6371374096776
x52=18.4690495444264x_{52} = 18.4690495444264
x53=−56.9291741417286x_{53} = -56.9291741417286
x54=−22.3716549522409x_{54} = -22.3716549522409
x55=−38.0796182201899x_{55} = -38.0796182201899
x56=−60.0707667953184x_{56} = -60.0707667953184
x57=−16.0884696450613x_{57} = -16.0884696450613
x58=43.6017907731447x_{58} = 43.6017907731447
x59=21.6106421980162x_{59} = 21.6106421980162
x60=−41.2212108737797x_{60} = -41.2212108737797
x61=27.8938275051958x_{61} = 27.8938275051958
x62=37.3186054659652x_{62} = 37.3186054659652
x63=65.5929393482733x_{63} = 65.5929393482733
x64=49.8849760803243x_{64} = 49.8849760803243
x65=81.3009026162223x_{65} = 81.3009026162223
x66=68.7345320018631x_{66} = 68.7345320018631
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 5*sin(x) + 2*cos(x).
5sin⁡(0)+2cos⁡(0)5 \sin{\left(0 \right)} + 2 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(x)+5cos⁡(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(52)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{2} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
              ____ 
(atan(5/2), \/ 29 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=atan⁡(52)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{2} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,atan⁡(52)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{2} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[atan⁡(52),∞)\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{2} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(5sin⁡(x)+2cos⁡(x))=0- (5 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(25)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{5} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−atan⁡(25)]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{5} \right)}\right]
Convexa en los intervalos
[−atan⁡(25),∞)\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{5} \right)}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(5sin⁡(x)+2cos⁡(x))=⟨−7,7⟩\lim_{x \to -\infty}\left(5 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -7, 7\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−7,7⟩y = \left\langle -7, 7\right\rangle
lim⁡x→∞(5sin⁡(x)+2cos⁡(x))=⟨−7,7⟩\lim_{x \to \infty}\left(5 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -7, 7\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−7,7⟩y = \left\langle -7, 7\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 5*sin(x) + 2*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(5sin⁡(x)+2cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(5sin⁡(x)+2cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
5sin⁡(x)+2cos⁡(x)=−5sin⁡(x)+2cos⁡(x)5 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} = - 5 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}
- No
5sin⁡(x)+2cos⁡(x)=5sin⁡(x)−2cos⁡(x)5 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} = 5 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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