Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (3*((x+3)(x-2))^1/3)/(x-5)

Gráfico de la función y = (3*((x+3)(x-2))^1/3)/(x-5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         3 _________________
       3*\/ (x + 3)*(x - 2) 
f(x) = ---------------------
               x - 5
f(x)=3(x−2)(x+3)3x−5f{\left(x \right)} = \frac{3 \sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(x + 3\right)}}{x - 5} 
f = (3*((x - 2)*(x + 3))^(1/3))/(x - 5)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=5x_{1} = 5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3(x−2)(x+3)3x−5=0\frac{3 \sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(x + 3\right)}}{x - 5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=−3x_{1} = -3
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (3*((x + 3)*(x - 2))^(1/3))/(x - 5).
3(−2)33−5\frac{3 \sqrt[3]{\left(-2\right) 3}}{-5}
Resultado:
f(0)=−3−635f{\left(0 \right)} = - \frac{3 \sqrt[3]{-6}}{5}
Punto:
(0, -3*(-6)^(1/3)/5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3(x−2)(x+3)3(2x3+13)(x−5)(x−2)(x+3)−3(x−2)(x+3)3(x−5)2=0\frac{3 \sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(x + 3\right)} \left(\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}\right)}{\left(x - 5\right) \left(x - 2\right) \left(x + 3\right)} - \frac{3 \sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(x + 3\right)}}{\left(x - 5\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−13x_{1} = -13
Signos de extremos en los puntos:
       3 _____  
      -\/ 150   
(-13, ---------)
          6


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−13x_{1} = -13
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−13,∞)\left[-13, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−13]\left(-\infty, -13\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=5x_{1} = 5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3(x−2)(x+3)3x−5)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(x + 3\right)}}{x - 5}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(3(x−2)(x+3)3x−5)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(x + 3\right)}}{x - 5}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3*((x + 3)*(x - 2))^(1/3))/(x - 5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3(x−2)(x+3)3x(x−5))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(x + 3\right)}}{x \left(x - 5\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3(x−2)(x+3)3x(x−5))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(x + 3\right)}}{x \left(x - 5\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3(x−2)(x+3)3x−5=3(3−x)(−x−2)3−x−5\frac{3 \sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(x + 3\right)}}{x - 5} = \frac{3 \sqrt[3]{\left(3 - x\right) \left(- x - 2\right)}}{- x - 5}
- No
3(x−2)(x+3)3x−5=−3(3−x)(−x−2)3−x−5\frac{3 \sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(x + 3\right)}}{x - 5} = - \frac{3 \sqrt[3]{\left(3 - x\right) \left(- x - 2\right)}}{- x - 5}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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