Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log(x+1)/log(x-1)

Gráfico de la función y = log(x+1)/log(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(x + 1)
f(x) = ----------
       log(x - 1)
f(x)=log⁡(x+1)log⁡(x−1)f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x - 1 \right)}} 
f = log(x + 1)/log(x - 1)
Gráfico de la función
-1.0-0.53.00.00.51.01.52.02.5-2000020000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x+1)log⁡(x−1)=0\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x - 1 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x + 1)/log(x - 1).
log⁡(1)log⁡(−1)\frac{\log{\left(1 \right)}}{\log{\left(-1 \right)}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1(x+1)log⁡(x−1)−log⁡(x+1)(x−1)log⁡(x−1)2=0\frac{1}{\left(x + 1\right) \log{\left(x - 1 \right)}} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)}^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1+2log⁡(x−1))log⁡(x+1)(x−1)2log⁡(x−1)−1(x+1)2−2(x−1)(x+1)log⁡(x−1)log⁡(x−1)=0\frac{\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(x - 1 \right)}}\right) \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x - 1\right)^{2} \log{\left(x - 1 \right)}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right) \log{\left(x - 1 \right)}}}{\log{\left(x - 1 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=10642.6085702957x_{1} = 10642.6085702957
x2=27637.2822298x_{2} = 27637.2822298
x3=14511.2077796967x_{3} = 14511.2077796967
x4=15159.9785186663x_{4} = 15159.9785186663
x5=21039.0087570418x_{5} = 21039.0087570418
x6=7458.74655589038x_{6} = 7458.74655589038
x7=21696.0720321665x_{7} = 21696.0720321665
x8=22353.8031957521x_{8} = 22353.8031957521
x9=17112.093643241x_{9} = 17112.093643241
x10=19072.0701365837x_{10} = 19072.0701365837
x11=11927.1424610773x_{11} = 11927.1424610773
x12=26313.0587104048x_{12} = 26313.0587104048
x13=9363.92266180088x_{13} = 9363.92266180088
x14=23012.180065108x_{14} = 23012.180065108
x15=15809.7458648551x_{15} = 15809.7458648551
x16=25651.7441696976x_{16} = 25651.7441696976
x17=24330.7885666891x_{17} = 24330.7885666891
x18=31621.7160682476x_{18} = 31621.7160682476
x19=8091.91985555771x_{19} = 8091.91985555771
x20=28963.5353600946x_{20} = 28963.5353600946
x21=17764.594137361x_{21} = 17764.594137361
x22=13863.4826786086x_{22} = 13863.4826786086
x23=8727.02556497286x_{23} = 8727.02556497286
x24=13216.8567271946x_{24} = 13216.8567271946
x25=26974.9097289087x_{25} = 26974.9097289087
x26=20382.6369684156x_{26} = 20382.6369684156
x27=10002.4869770251x_{27} = 10002.4869770251
x28=12571.3885228224x_{28} = 12571.3885228224
x29=18417.9306531122x_{29} = 18417.9306531122
x30=30291.7120950935x_{30} = 30291.7120950935
x31=19726.98181305x_{31} = 19726.98181305
x32=28300.161960649x_{32} = 28300.161960649
x33=11284.1895805989x_{33} = 11284.1895805989
x34=24990.9819022814x_{34} = 24990.9819022814
x35=23671.1817540481x_{35} = 23671.1817540481
x36=16460.4647533393x_{36} = 16460.4647533393
x37=29627.3895105595x_{37} = 29627.3895105595
x38=30956.4913579122x_{38} = 30956.4913579122
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=2x_{1} = 2

lim⁡x→2−((1+2log⁡(x−1))log⁡(x+1)(x−1)2log⁡(x−1)−1(x+1)2−2(x−1)(x+1)log⁡(x−1)log⁡(x−1))=−∞\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(x - 1 \right)}}\right) \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x - 1\right)^{2} \log{\left(x - 1 \right)}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right) \log{\left(x - 1 \right)}}}{\log{\left(x - 1 \right)}}\right) = -\infty
lim⁡x→2+((1+2log⁡(x−1))log⁡(x+1)(x−1)2log⁡(x−1)−1(x+1)2−2(x−1)(x+1)log⁡(x−1)log⁡(x−1))=∞\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(x - 1 \right)}}\right) \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x - 1\right)^{2} \log{\left(x - 1 \right)}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right) \log{\left(x - 1 \right)}}}{\log{\left(x - 1 \right)}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=2x_{1} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+1)log⁡(x−1))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x - 1 \right)}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(log⁡(x+1)log⁡(x−1))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x - 1 \right)}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x + 1)/log(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+1)xlog⁡(x−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x \log{\left(x - 1 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x+1)xlog⁡(x−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x \log{\left(x - 1 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x+1)log⁡(x−1)=log⁡(1−x)log⁡(−x−1)\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x - 1 \right)}} = \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{\log{\left(- x - 1 \right)}}
- No
log⁡(x+1)log⁡(x−1)=−log⁡(1−x)log⁡(−x−1)\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x - 1 \right)}} = - \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{\log{\left(- x - 1 \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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