Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{4}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{4}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
3 2
___ / ___\ / ___\
4 \/ 7 |4 \/ 7 | ___ |4 \/ 7 |
(- - -----, 4 + |- - -----| - \/ 7 - 4*|- - -----| )
3 3 \3 3 / \3 3 /
3 2
___ / ___\ / ___\
4 \/ 7 ___ |4 \/ 7 | |4 \/ 7 |
(- + -----, 4 + \/ 7 + |- + -----| - 4*|- + -----| )
3 3 \3 3 / \3 3 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{4}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{4}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{4}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{4}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}, \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{4}{3}\right]$$