Sr Examen

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2tg(x/2)
Trazado el gráfico de la función/ 2tg(x/2)

Gráfico de la función y = 2tg(x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /x\
f(x) = 2*tan|-|
            \2/
f(x)=2tan⁡(x2)f{\left(x \right)} = 2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} 
f = 2*tan(x/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2tan⁡(x2)=02 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−62.8318530717959x_{1} = -62.8318530717959
x2=87.9645943005142x_{2} = 87.9645943005142
x3=31.4159265358979x_{3} = 31.4159265358979
x4=−56.5486677646163x_{4} = -56.5486677646163
x5=69.1150383789755x_{5} = 69.1150383789755
x6=−37.6991118430775x_{6} = -37.6991118430775
x7=−81.6814089933346x_{7} = -81.6814089933346
x8=−12.5663706143592x_{8} = -12.5663706143592
x9=12.5663706143592x_{9} = 12.5663706143592
x10=−87.9645943005142x_{10} = -87.9645943005142
x11=−100.530964914873x_{11} = -100.530964914873
x12=−94.2477796076938x_{12} = -94.2477796076938
x13=6.28318530717959x_{13} = 6.28318530717959
x14=−69.1150383789755x_{14} = -69.1150383789755
x15=0x_{15} = 0
x16=−25.1327412287183x_{16} = -25.1327412287183
x17=−50.2654824574367x_{17} = -50.2654824574367
x18=−18.8495559215388x_{18} = -18.8495559215388
x19=18.8495559215388x_{19} = 18.8495559215388
x20=37.6991118430775x_{20} = 37.6991118430775
x21=−43.9822971502571x_{21} = -43.9822971502571
x22=−6.28318530717959x_{22} = -6.28318530717959
x23=43.9822971502571x_{23} = 43.9822971502571
x24=56.5486677646163x_{24} = 56.5486677646163
x25=25.1327412287183x_{25} = 25.1327412287183
x26=75.398223686155x_{26} = 75.398223686155
x27=81.6814089933346x_{27} = 81.6814089933346
x28=100.530964914873x_{28} = 100.530964914873
x29=−75.398223686155x_{29} = -75.398223686155
x30=−31.4159265358979x_{30} = -31.4159265358979
x31=62.8318530717959x_{31} = 62.8318530717959
x32=50.2654824574367x_{32} = 50.2654824574367
x33=94.2477796076938x_{33} = 94.2477796076938
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*tan(x/2).
2tan⁡(02)2 \tan{\left(\frac{0}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
tan⁡2(x2)+1=0\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(tan⁡2(x2)+1)tan⁡(x2)=0\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(2tan⁡(x2))y = \lim_{x \to -\infty}\left(2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(2tan⁡(x2))y = \lim_{x \to \infty}\left(2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*tan(x/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(2tan⁡(x2)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(2tan⁡(x2)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2tan⁡(x2)=−2tan⁡(x2)2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = - 2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}
- No
2tan⁡(x2)=2tan⁡(x2)2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = 2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 2tg(x/2)
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