Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-3)^2
-
x^2+x+1
-
x^3-3*x^2+4
-
x^2+1/x
-
Expresiones idénticas
- x^ cuatro - tres *x^ dos + siete *x- quince
- x en el grado 4 menos 3 multiplicar por x al cuadrado más 7 multiplicar por x menos 15
- x en el grado cuatro menos tres multiplicar por x en el grado dos más siete multiplicar por x menos quince
- x4-3*x2+7*x-15
- x⁴-3*x²+7*x-15
- x en el grado 4-3*x en el grado 2+7*x-15
- x^4-3x^2+7x-15
- x4-3x2+7x-15
-
Expresiones semejantes
- x^4-3*x^2+7*x+15
- x^4-3*x^2-7*x-15
- x^4+3*x^2+7*x-15
Gráfico de la función y = x^4-3*x^2+7*x-15
Solución
Ha introducido
[src]
4 2 f(x) = x - 3*x + 7*x - 15
$$f{\left(x \right)} = \left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 15$$
f = 7*x + x^4 - 3*x^2 - 15
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 15 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- \frac{19}{2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}}} + 2 + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}} + 4 + \frac{19}{2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}}} + \frac{14}{\sqrt{- \frac{19}{2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}}} + 2 + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}} + 4 + \frac{19}{2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}}} + \frac{14}{\sqrt{- \frac{19}{2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}}} + 2 + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}}}}}}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{19}{2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}}} + 2 + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}}}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.87780835843218$$
$$x_{2} = -2.74573316237088$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 15 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- \frac{19}{2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}}} + 2 + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}} + 4 + \frac{19}{2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}}} + \frac{14}{\sqrt{- \frac{19}{2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}}} + 2 + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}} + 4 + \frac{19}{2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}}} + \frac{14}{\sqrt{- \frac{19}{2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}}} + 2 + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}}}}}}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{19}{2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}}} + 2 + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{16} + \frac{\sqrt{32765}}{16}}}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.87780835843218$$
$$x_{2} = -2.74573316237088$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 6 x + 7 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 6 x + 7 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
4 2
_________________ / _________________\ / _________________\ _________________
/ ____ | / ____ | | / ____ | / ____
/ 189 27*\/ 41 | / 189 27*\/ 41 | | / 189 27*\/ 41 | / 189 27*\/ 41
3 / --- + --------- | 3 / --- + --------- | | 3 / --- + --------- | 7*3 / --- + ---------
3 \/ 8 8 | 3 \/ 8 8 | | 3 \/ 8 8 | 21 \/ 8 8
(- ------------------------ - ----------------------, -15 + |- ------------------------ - ----------------------| - 3*|- ------------------------ - ----------------------| - ------------------------ - ------------------------)
_________________ 3 | _________________ 3 | | _________________ 3 | _________________ 3
/ ____ | / ____ | | / ____ | / ____
/ 189 27*\/ 41 | / 189 27*\/ 41 | | / 189 27*\/ 41 | / 189 27*\/ 41
2*3 / --- + --------- | 2*3 / --- + --------- | | 2*3 / --- + --------- | 2*3 / --- + ---------
\/ 8 8 \ \/ 8 8 / \ \/ 8 8 / \/ 8 8 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(2 x^{2} - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(2 x^{2} - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 15\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 15\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 15\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 15\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 3*x^2 + 7*x - 15, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 15}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 15}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 15}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 15}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 15 = x^{4} - 3 x^{2} - 7 x - 15$$
- No
$$\left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 15 = - x^{4} + 3 x^{2} + 7 x + 15$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 15 = x^{4} - 3 x^{2} - 7 x - 15$$
- No
$$\left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 15 = - x^{4} + 3 x^{2} + 7 x + 15$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico