Sr Examen

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Gráfico de la función y = ((((2*((x-250)/53))/((13+((x-250)/53)^(2))^1/2))*30)-50)+512

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
               x - 250                     
             2*-------                     
                  53                       
f(x) = ----------------------*30 - 50 + 512
            _________________              
           /               2               
          /       /x - 250\                
         /   13 + |-------|                
       \/         \   53  /                
f(x)=(302x25053(x25053)2+1350)+512f{\left(x \right)} = \left(30 \frac{2 \frac{x - 250}{53}}{\sqrt{\left(\frac{x - 250}{53}\right)^{2} + 13}} - 50\right) + 512
f = 30*((2*((x - 250)/53))/sqrt(((x - 250)/53)^2 + 13)) - 50 + 512
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010412416
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(302x25053(x25053)2+1350)+512=0\left(30 \frac{2 \frac{x - 250}{53}}{\sqrt{\left(\frac{x - 250}{53}\right)^{2} + 13}} - 50\right) + 512 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((2*((x - 250)/53))/sqrt(13 + ((x - 250)/53)^2))*30 - 50 + 512.
(50+302(25053)13+(25053)2)+512\left(-50 + 30 \frac{2 \left(- \frac{250}{53}\right)}{\sqrt{13 + \left(- \frac{250}{53}\right)^{2}}}\right) + 512
Resultado:
f(0)=462150009901799017f{\left(0 \right)} = 462 - \frac{15000 \sqrt{99017}}{99017}
Punto:
(0, 462 - 15000*sqrt(99017)/99017)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
60(x28092502809)(x250)53((x25053)2+13)32+6053(x25053)2+13=0- \frac{60 \left(\frac{x}{2809} - \frac{250}{2809}\right) \left(x - 250\right)}{53 \left(\left(\frac{x - 250}{53}\right)^{2} + 13\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{60}{53 \sqrt{\left(\frac{x - 250}{53}\right)^{2} + 13}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
180(x250)((x250)2(x250)22809+132809)418195493((x250)22809+13)32=0\frac{180 \left(x - 250\right) \left(\frac{\left(x - 250\right)^{2}}{\frac{\left(x - 250\right)^{2}}{2809} + 13} - 2809\right)}{418195493 \left(\frac{\left(x - 250\right)^{2}}{2809} + 13\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=250x_{1} = 250

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx((302x25053(x25053)2+1350)+512)=402\lim_{x \to -\infty}\left(\left(30 \frac{2 \frac{x - 250}{53}}{\sqrt{\left(\frac{x - 250}{53}\right)^{2} + 13}} - 50\right) + 512\right) = 402
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=402y = 402
limx((302x25053(x25053)2+1350)+512)=522\lim_{x \to \infty}\left(\left(30 \frac{2 \frac{x - 250}{53}}{\sqrt{\left(\frac{x - 250}{53}\right)^{2} + 13}} - 50\right) + 512\right) = 522
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=522y = 522
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((2*((x - 250)/53))/sqrt(13 + ((x - 250)/53)^2))*30 - 50 + 512, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx((302x25053(x25053)2+1350)+512x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(30 \frac{2 \frac{x - 250}{53}}{\sqrt{\left(\frac{x - 250}{53}\right)^{2} + 13}} - 50\right) + 512}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx((302x25053(x25053)2+1350)+512x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(30 \frac{2 \frac{x - 250}{53}}{\sqrt{\left(\frac{x - 250}{53}\right)^{2} + 13}} - 50\right) + 512}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(302x25053(x25053)2+1350)+512=30(2x5350053)(x5325053)2+13+462\left(30 \frac{2 \frac{x - 250}{53}}{\sqrt{\left(\frac{x - 250}{53}\right)^{2} + 13}} - 50\right) + 512 = \frac{30 \left(- \frac{2 x}{53} - \frac{500}{53}\right)}{\sqrt{\left(- \frac{x}{53} - \frac{250}{53}\right)^{2} + 13}} + 462
- No
(302x25053(x25053)2+1350)+512=30(2x5350053)(x5325053)2+13462\left(30 \frac{2 \frac{x - 250}{53}}{\sqrt{\left(\frac{x - 250}{53}\right)^{2} + 13}} - 50\right) + 512 = - \frac{30 \left(- \frac{2 x}{53} - \frac{500}{53}\right)}{\sqrt{\left(- \frac{x}{53} - \frac{250}{53}\right)^{2} + 13}} - 462
- No
es decir, función
no es
par ni impar