Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
y=2x
-
2*x^3-3*x
-
3-x^2
-
Expresiones idénticas
- (dos *x^ tres + dos *x^ dos - nueve *x- tres)/(dos *x- tres)
- (2 multiplicar por x al cubo más 2 multiplicar por x al cuadrado menos 9 multiplicar por x menos 3) dividir por (2 multiplicar por x menos 3)
- (dos multiplicar por x en el grado tres más dos multiplicar por x en el grado dos menos nueve multiplicar por x menos tres) dividir por (dos multiplicar por x menos tres)
- (2*x3+2*x2-9*x-3)/(2*x-3)
- 2*x3+2*x2-9*x-3/2*x-3
- (2*x³+2*x²-9*x-3)/(2*x-3)
- (2*x en el grado 3+2*x en el grado 2-9*x-3)/(2*x-3)
- (2x^3+2x^2-9x-3)/(2x-3)
- (2x3+2x2-9x-3)/(2x-3)
- 2x3+2x2-9x-3/2x-3
- 2x^3+2x^2-9x-3/2x-3
- (2*x^3+2*x^2-9*x-3) dividir por (2*x-3)
-
Expresiones semejantes
- (2*x^3+2*x^2-9*x+3)/(2*x-3)
- (2*x^3+2*x^2-9*x-3)/(2*x+3)
- (2*x^3+2*x^2+9*x-3)/(2*x-3)
- (2*x^3-2*x^2-9*x-3)/(2*x-3)
Gráfico de la función y = (2*x^3+2*x^2-9*x-3)/(2*x-3)
Solución
Ha introducido
[src]
3 2
2*x + 2*x - 9*x - 3
f(x) = ---------------------
2*x - 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(- 9 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 3}{2 x - 3}$$
f = (-9*x + 2*x^3 + 2*x^2 - 3)/(2*x - 3)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1.5$$
$$x_{1} = 1.5$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(- 9 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 3}{2 x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{9 \sqrt{602} i}{4}}}{3} - \frac{29}{6 \sqrt[3]{1 + \frac{9 \sqrt{602} i}{4}}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.85744771779341$$
$$x_{2} = -2.5394407998188$$
$$x_{3} = -0.318006917974609$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(- 9 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 3}{2 x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{9 \sqrt{602} i}{4}}}{3} - \frac{29}{6 \sqrt[3]{1 + \frac{9 \sqrt{602} i}{4}}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.85744771779341$$
$$x_{2} = -2.5394407998188$$
$$x_{3} = -0.318006917974609$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{6 x^{2} + 4 x - 9}{2 x - 3} - \frac{2 \left(\left(- 9 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 3\right)}{\left(2 x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}}{3} - \frac{121}{48 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}} + \frac{7}{12}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}}{3} - \frac{121}{48 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}} + \frac{7}{12}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}}{3} - \frac{121}{48 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}} + \frac{7}{12}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}}{3} - \frac{121}{48 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}} + \frac{7}{12}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{6 x^{2} + 4 x - 9}{2 x - 3} - \frac{2 \left(\left(- 9 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 3\right)}{\left(2 x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}}{3} - \frac{121}{48 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}} + \frac{7}{12}$$
Signos de extremos en los puntos:
2 3
/ ____________________\ / ____________________\
| / _______ | | / _______ |
| / 2465 9*\/ 13286 | | / 2465 9*\/ 13286 | ____________________
| 3 / ---- + ----------- | | 3 / ---- + ----------- | / _______
33 |7 121 \/ 64 32 | |7 121 \/ 64 32 | / 2465 9*\/ 13286 363
- -- + 2*|-- - ---------------------------- - -------------------------| + 2*|-- - ---------------------------- - -------------------------| + 3*3 / ---- + ----------- + ----------------------------
____________________ 4 |12 ____________________ 3 | |12 ____________________ 3 | \/ 64 32 ____________________
/ _______ | / _______ | | / _______ | / _______
/ 2465 9*\/ 13286 | / 2465 9*\/ 13286 | | / 2465 9*\/ 13286 | / 2465 9*\/ 13286
3 / ---- + ----------- | 48*3 / ---- + ----------- | | 48*3 / ---- + ----------- | 16*3 / ---- + -----------
7 121 \/ 64 32 \ \/ 64 32 / \ \/ 64 32 / \/ 64 32
(-- - ---------------------------- - -------------------------, -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
12 ____________________ 3 ____________________
/ _______ / _______
/ 2465 9*\/ 13286 / 2465 9*\/ 13286
48*3 / ---- + ----------- 2*3 / ---- + -----------
\/ 64 32 11 121 \/ 64 32
- -- - ---------------------------- - ---------------------------
6 ____________________ 3
/ _______
/ 2465 9*\/ 13286
24*3 / ---- + -----------
\/ 64 32 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}}{3} - \frac{121}{48 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}} + \frac{7}{12}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}}{3} - \frac{121}{48 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}} + \frac{7}{12}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}}{3} - \frac{121}{48 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}} + \frac{7}{12}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \left(3 x + 1 - \frac{6 x^{2} + 4 x - 9}{2 x - 3} + \frac{2 \left(2 x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 3\right)}{\left(2 x - 3\right)^{2}}\right)}{2 x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{21}}{2} + \frac{3}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1.5$$
$$\lim_{x \to 1.5^-}\left(\frac{4 \left(3 x + 1 - \frac{6 x^{2} + 4 x - 9}{2 x - 3} + \frac{2 \left(2 x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 3\right)}{\left(2 x - 3\right)^{2}}\right)}{2 x - 3}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1.5^+}\left(\frac{4 \left(3 x + 1 - \frac{6 x^{2} + 4 x - 9}{2 x - 3} + \frac{2 \left(2 x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 3\right)}{\left(2 x - 3\right)^{2}}\right)}{2 x - 3}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1.5$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt[3]{21}}{2} + \frac{3}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt[3]{21}}{2} + \frac{3}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \left(3 x + 1 - \frac{6 x^{2} + 4 x - 9}{2 x - 3} + \frac{2 \left(2 x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 3\right)}{\left(2 x - 3\right)^{2}}\right)}{2 x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{21}}{2} + \frac{3}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1.5$$
$$\lim_{x \to 1.5^-}\left(\frac{4 \left(3 x + 1 - \frac{6 x^{2} + 4 x - 9}{2 x - 3} + \frac{2 \left(2 x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 3\right)}{\left(2 x - 3\right)^{2}}\right)}{2 x - 3}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1.5^+}\left(\frac{4 \left(3 x + 1 - \frac{6 x^{2} + 4 x - 9}{2 x - 3} + \frac{2 \left(2 x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 3\right)}{\left(2 x - 3\right)^{2}}\right)}{2 x - 3}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1.5$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt[3]{21}}{2} + \frac{3}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt[3]{21}}{2} + \frac{3}{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1.5$$
$$x_{1} = 1.5$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 9 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 3}{2 x - 3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 9 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 3}{2 x - 3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 9 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 3}{2 x - 3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 9 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 3}{2 x - 3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x^3 + 2*x^2 - 9*x - 3)/(2*x - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 9 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 3}{x \left(2 x - 3\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 9 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 3}{x \left(2 x - 3\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 9 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 3}{x \left(2 x - 3\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 9 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 3}{x \left(2 x - 3\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(- 9 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 3}{2 x - 3} = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 9 x - 3}{- 2 x - 3}$$
- No
$$\frac{\left(- 9 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 3}{2 x - 3} = - \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 9 x - 3}{- 2 x - 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(- 9 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 3}{2 x - 3} = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 9 x - 3}{- 2 x - 3}$$
- No
$$\frac{\left(- 9 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 3}{2 x - 3} = - \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 9 x - 3}{- 2 x - 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico