Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{6 x^{2} + 4 x - 9}{2 x - 3} - \frac{2 \left(\left(- 9 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 3\right)}{\left(2 x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}}{3} - \frac{121}{48 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}} + \frac{7}{12}$$
Signos de extremos en los puntos:
2 3
/ ____________________\ / ____________________\
| / _______ | | / _______ |
| / 2465 9*\/ 13286 | | / 2465 9*\/ 13286 | ____________________
| 3 / ---- + ----------- | | 3 / ---- + ----------- | / _______
33 |7 121 \/ 64 32 | |7 121 \/ 64 32 | / 2465 9*\/ 13286 363
- -- + 2*|-- - ---------------------------- - -------------------------| + 2*|-- - ---------------------------- - -------------------------| + 3*3 / ---- + ----------- + ----------------------------
____________________ 4 |12 ____________________ 3 | |12 ____________________ 3 | \/ 64 32 ____________________
/ _______ | / _______ | | / _______ | / _______
/ 2465 9*\/ 13286 | / 2465 9*\/ 13286 | | / 2465 9*\/ 13286 | / 2465 9*\/ 13286
3 / ---- + ----------- | 48*3 / ---- + ----------- | | 48*3 / ---- + ----------- | 16*3 / ---- + -----------
7 121 \/ 64 32 \ \/ 64 32 / \ \/ 64 32 / \/ 64 32
(-- - ---------------------------- - -------------------------, -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
12 ____________________ 3 ____________________
/ _______ / _______
/ 2465 9*\/ 13286 / 2465 9*\/ 13286
48*3 / ---- + ----------- 2*3 / ---- + -----------
\/ 64 32 11 121 \/ 64 32
- -- - ---------------------------- - ---------------------------
6 ____________________ 3
/ _______
/ 2465 9*\/ 13286
24*3 / ---- + -----------
\/ 64 32
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}}{3} - \frac{121}{48 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}} + \frac{7}{12}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}}{3} - \frac{121}{48 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}} + \frac{7}{12}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}}{3} - \frac{121}{48 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{13286}}{32} + \frac{2465}{64}}} + \frac{7}{12}\right]$$