Sr Examen

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  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x*e^(-((x^2)/2)) x*e^(-((x^2)/2))
  • (x+2)/(x-4) (x+2)/(x-4)
  • (x^2+8)/(x+1) (x^2+8)/(x+1)
  • x^3-12x+1 x^3-12x+1

  • Expresiones idénticas

  • (x^ dos *(x+ tres))/(x+ uno)^ dos
  • (x al cuadrado multiplicar por (x más 3)) dividir por (x más 1) al cuadrado
  • (x en el grado dos multiplicar por (x más tres)) dividir por (x más uno) en el grado dos
  • (x2*(x+3))/(x+1)2
  • x2*x+3/x+12
  • (x²*(x+3))/(x+1)²
  • (x en el grado 2*(x+3))/(x+1) en el grado 2
  • (x^2(x+3))/(x+1)^2
  • (x2(x+3))/(x+1)2
  • x2x+3/x+12
  • x^2x+3/x+1^2
  • (x^2*(x+3)) dividir por (x+1)^2

  • Expresiones semejantes

  • (x^2*(x+3))/(x-1)^2
  • (x^2*(x-3))/(x+1)^2
Trazado el gráfico de la función/ (x^2*(x+3))/(x+1)^2

Gráfico de la función y = (x^2*(x+3))/(x+1)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2        
       x *(x + 3)
f(x) = ----------
               2 
        (x + 1)
f(x)=x2(x+3)(x+1)2f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} 
f = (x^2*(x + 3))/(x + 1)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2(x+3)(x+1)2=0\frac{x^{2} \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
x2=0x_{2} = 0
Solución numérica
x1=−3x_{1} = -3
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2*(x + 3))/(x + 1)^2.
3⋅0212\frac{3 \cdot 0^{2}}{1^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x2(−2x−2)(x+3)(x+1)4+x2+2x(x+3)(x+1)2=0\frac{x^{2} \left(- 2 x - 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(x2(x+3)(x+1)3−2x(x+2)(x+1)2+1)x+1=0\frac{6 \left(\frac{x^{2} \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{3}} - \frac{2 x \left(x + 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−(6(x2(x+3)(x+1)3−2x(x+2)(x+1)2+1)x+1)=∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{6 \left(\frac{x^{2} \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{3}} - \frac{2 x \left(x + 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)}{x + 1}\right) = \infty
lim⁡x→−1+(6(x2(x+3)(x+1)3−2x(x+2)(x+1)2+1)x+1)=∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{6 \left(\frac{x^{2} \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{3}} - \frac{2 x \left(x + 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)}{x + 1}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Convexa en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2(x+3)(x+1)2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2(x+3)(x+1)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2*(x + 3))/(x + 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x(x+3)(x+1)2)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x(x+3)(x+1)2)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2(x+3)(x+1)2=x2(3−x)(1−x)2\frac{x^{2} \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{x^{2} \left(3 - x\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}
- No
x2(x+3)(x+1)2=−x2(3−x)(1−x)2\frac{x^{2} \left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{x^{2} \left(3 - x\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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