Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
3/(x^2+1)
-
(1/3)^x
-
x/(x^3+2)
-
y=2x-3
-
Expresiones idénticas
- (x^ tres)/((x^ dos)- uno)
- (x al cubo ) dividir por ((x al cuadrado ) menos 1)
- (x en el grado tres) dividir por ((x en el grado dos) menos uno)
- (x3)/((x2)-1)
- x3/x2-1
- (x³)/((x²)-1)
- (x en el grado 3)/((x en el grado 2)-1)
- x^3/x^2-1
- (x^3) dividir por ((x^2)-1)
-
Expresiones semejantes
- (x^3)/((x^2)+1)
Gráfico de la función y = (x^3)/((x^2)-1)
Solución
Ha introducido
[src]
3
x
f(x) = ------
2
x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}$$
f = x^3/(x^2 - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.29213121771585 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = 0.000101800776441895$$
$$x_{3} = -1.44751619396974 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = 1.58883662823119 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{5} = 1.4551271928972 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = -6.0574173203798 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{7} = -1.65542082274722 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = -1.33576097897323 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{9} = 1.24564149000914 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{10} = -1.11978292621615 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{11} = -1.19719263402108 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{12} = 2.51618215228747 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{13} = -1.02080758042044 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = 2.71517522466557 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = 3.98307650781915 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = 1.16204482588066 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{17} = -2.32480068472512 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{18} = 1.66539322097999 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = 1.1243259607334 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{20} = 1.39639656625653 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{21} = -1.73872944593724 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{22} = 0$$
$$x_{23} = -1.93348554829681 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{24} = -9.77021946752451 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{25} = 2.94881744011949 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{26} = -2.9174073389914 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{27} = 1.94712556311211 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{28} = -1.38938794491965 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{29} = 6.20057747564769 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{30} = -1.51073945424544 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{31} = -3.51864737764513 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{32} = 1.02458034133386 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{33} = -1.24006502327191 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{34} = 1.74973925703168 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{35} = 2.0636385729793 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{36} = -5.12042741549476 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{37} = 3.22717842026557 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{38} = -1.57976110420401 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{39} = -2.49336033753144 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{40} = -3.92536494407101 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{41} = -2.04831244816923 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{42} = 1.05579883209673 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{43} = 7.67083144416217 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{44} = -1.08472141172313 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{45} = -1.05179268996856 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{46} = -2.17774976012942 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{47} = 4.51615820073414 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{48} = -7.44724958198743 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{49} = 1.20238847944317 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{50} = -1.28613060064861 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{51} = 3.56472597229872 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{52} = 1.84313405992713 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{53} = -1.15719184340806 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{54} = 1.342236195435 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{55} = -5.29187129903907 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{56} = 2.19509777092235 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{57} = 1.51903427544602 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{58} = 2.34460265212289 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{59} = -3.18949748349294 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{60} = -2.68857710606591 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{61} = -1.83091515307426 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{62} = 5.2207525204139 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{63} = 1.08898332365885 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{64} = -4.44161874624345 \cdot 10^{-5}$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.29213121771585 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = 0.000101800776441895$$
$$x_{3} = -1.44751619396974 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = 1.58883662823119 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{5} = 1.4551271928972 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = -6.0574173203798 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{7} = -1.65542082274722 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = -1.33576097897323 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{9} = 1.24564149000914 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{10} = -1.11978292621615 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{11} = -1.19719263402108 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{12} = 2.51618215228747 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{13} = -1.02080758042044 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = 2.71517522466557 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = 3.98307650781915 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = 1.16204482588066 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{17} = -2.32480068472512 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{18} = 1.66539322097999 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = 1.1243259607334 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{20} = 1.39639656625653 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{21} = -1.73872944593724 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{22} = 0$$
$$x_{23} = -1.93348554829681 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{24} = -9.77021946752451 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{25} = 2.94881744011949 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{26} = -2.9174073389914 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{27} = 1.94712556311211 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{28} = -1.38938794491965 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{29} = 6.20057747564769 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{30} = -1.51073945424544 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{31} = -3.51864737764513 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{32} = 1.02458034133386 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{33} = -1.24006502327191 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{34} = 1.74973925703168 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{35} = 2.0636385729793 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{36} = -5.12042741549476 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{37} = 3.22717842026557 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{38} = -1.57976110420401 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{39} = -2.49336033753144 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{40} = -3.92536494407101 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{41} = -2.04831244816923 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{42} = 1.05579883209673 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{43} = 7.67083144416217 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{44} = -1.08472141172313 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{45} = -1.05179268996856 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{46} = -2.17774976012942 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{47} = 4.51615820073414 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{48} = -7.44724958198743 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{49} = 1.20238847944317 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{50} = -1.28613060064861 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{51} = 3.56472597229872 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{52} = 1.84313405992713 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{53} = -1.15719184340806 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{54} = 1.342236195435 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{55} = -5.29187129903907 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{56} = 2.19509777092235 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{57} = 1.51903427544602 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{58} = 2.34460265212289 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{59} = -3.18949748349294 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{60} = -2.68857710606591 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{61} = -1.83091515307426 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{62} = 5.2207525204139 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{63} = 1.08898332365885 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{64} = -4.44161874624345 \cdot 10^{-5}$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{3}, \sqrt{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
___
___ -3*\/ 3
(-\/ 3, --------)
2 ___
___ 3*\/ 3
(\/ 3, -------)
2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{3}, \sqrt{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3/(x^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1} = - \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}$$
- No
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}$$
- Sí
es decir, función
es
impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1} = - \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}$$
- No
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}$$
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico