Sr Examen

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16x^2(x-1)^2

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x^3-x x^3-x
  • x^3+3 x^3+3
  • 1+x 1+x
  • 2^x 2^x

  • Expresiones idénticas

  • uno 6x^ dos (x-1)^ dos
  • 16x al cuadrado (x menos 1) al cuadrado
  • uno 6x en el grado dos (x menos 1) en el grado dos
  • 16x2(x-1)2
  • 16x2x-12
  • 16x²(x-1)²
  • 16x en el grado 2(x-1) en el grado 2
  • 16x^2x-1^2

  • Expresiones semejantes

  • 16x^2(x+1)^2
Trazado el gráfico de la función/ 16x^2(x-1)^2

Gráfico de la función y = 16x^2(x-1)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           2        2
f(x) = 16*x *(x - 1)
f(x)=16x2(x−1)2f{\left(x \right)} = 16 x^{2} \left(x - 1\right)^{2} 
f = (16*x^2)*(x - 1)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100200000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
16x2(x−1)2=016 x^{2} \left(x - 1\right)^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (16*x^2)*(x - 1)^2.
(−1)2⋅16⋅02\left(-1\right)^{2} \cdot 16 \cdot 0^{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
16x2(2x−2)+32x(x−1)2=016 x^{2} \left(2 x - 2\right) + 32 x \left(x - 1\right)^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}
x3=1x_{3} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

(1/2, 1)

(1, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Puntos máximos de la función:
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
[0,12]∪[1,∞)\left[0, \frac{1}{2}\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[12,1]\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{1}{2}, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
32(x2+4x(x−1)+(x−1)2)=032 \left(x^{2} + 4 x \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right)^{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12−36x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}
x2=36+12x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,12−36]∪[36+12,∞)\left(-\infty, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[12−36,36+12]\left[\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(16x2(x−1)2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(16 x^{2} \left(x - 1\right)^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(16x2(x−1)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(16 x^{2} \left(x - 1\right)^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (16*x^2)*(x - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(16x(x−1)2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(16 x \left(x - 1\right)^{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(16x(x−1)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(16 x \left(x - 1\right)^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
16x2(x−1)2=16x2(−x−1)216 x^{2} \left(x - 1\right)^{2} = 16 x^{2} \left(- x - 1\right)^{2}
- No
16x2(x−1)2=−16x2(−x−1)216 x^{2} \left(x - 1\right)^{2} = - 16 x^{2} \left(- x - 1\right)^{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 16x^2(x-1)^2
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