Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-8/x^4
-
y=x²-2x-8
-
-x^4+x^2
-
x*e^(-x^1)
-
Expresiones idénticas
- dos (- dos cos(t))(-2sin(t)+2)
- 2( menos 2 coseno de (t))( menos 2 seno de (t) más 2)
- dos ( menos dos coseno de (t))( menos 2 seno de (t) más 2)
- 2-2cost-2sint+2
-
Expresiones semejantes
- 2(-2cos(t))(2sin(t)+2)
- 2(2cos(t))(-2sin(t)+2)
- 2(-2cos(t))(-2sin(t)-2)
Gráfico de la función y = 2(-2cos(t))(-2sin(t)+2)
Solución
Ha introducido
[src]
f(t) = 2*-2*cos(t)*(-2*sin(t) + 2)
$$f{\left(t \right)} = 2 \left(- 2 \cos{\left(t \right)}\right) \left(2 - 2 \sin{\left(t \right)}\right)$$
f = (2*(-2*cos(t)))*(2 - 2*sin(t))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 \left(- 2 \cos{\left(t \right)}\right) \left(2 - 2 \sin{\left(t \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:
Solución analítica
$$t_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$t_{1} = 23.5619449019235$$
$$t_{2} = 64.4026120631021$$
$$t_{3} = -23.5619901092509$$
$$t_{4} = -20.4203522483337$$
$$t_{5} = -29.8451151764072$$
$$t_{6} = -39.2699081698724$$
$$t_{7} = -73.8274109605032$$
$$t_{8} = 98.9601685880785$$
$$t_{9} = 86.3937979737193$$
$$t_{10} = 7.85402509748832$$
$$t_{11} = -80.1106700221811$$
$$t_{12} = -89.5353906273091$$
$$t_{13} = 14.1371748702372$$
$$t_{14} = 48.6946861306418$$
$$t_{15} = -67.5442911095362$$
$$t_{16} = -64.4026493985908$$
$$t_{17} = 67.5442420521806$$
$$t_{18} = -70.6858347057703$$
$$t_{19} = -26.7035375555132$$
$$t_{20} = 42.4115008234622$$
$$t_{21} = -80.1105783828951$$
$$t_{22} = -73.827404839395$$
$$t_{23} = 4.71238898038469$$
$$t_{24} = 73.8274273593601$$
$$t_{25} = 20.42030673321$$
$$t_{26} = -7.85398163397448$$
$$t_{27} = -95.8185759344887$$
$$t_{28} = -36.1282765608558$$
$$t_{29} = -83.2522053201295$$
$$t_{30} = -1.5707963267949$$
$$t_{31} = -58.1194640914112$$
$$t_{32} = 58.1194603109949$$
$$t_{33} = 29.845130209103$$
$$t_{34} = 80.1106126665397$$
$$t_{35} = 20.4203109469995$$
$$t_{36} = 95.8186280030328$$
$$t_{37} = 51.8363266129711$$
$$t_{38} = 36.1283155162826$$
$$t_{39} = 61.261056745001$$
$$t_{40} = 92.6769832808989$$
$$t_{41} = -29.8451590169879$$
$$t_{42} = 17.2787595947439$$
$$t_{43} = -51.8362787842316$$
$$t_{44} = -45.553093477052$$
$$t_{45} = -14.1371669411541$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 \left(- 2 \cos{\left(t \right)}\right) \left(2 - 2 \sin{\left(t \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:
Solución analítica
$$t_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$t_{1} = 23.5619449019235$$
$$t_{2} = 64.4026120631021$$
$$t_{3} = -23.5619901092509$$
$$t_{4} = -20.4203522483337$$
$$t_{5} = -29.8451151764072$$
$$t_{6} = -39.2699081698724$$
$$t_{7} = -73.8274109605032$$
$$t_{8} = 98.9601685880785$$
$$t_{9} = 86.3937979737193$$
$$t_{10} = 7.85402509748832$$
$$t_{11} = -80.1106700221811$$
$$t_{12} = -89.5353906273091$$
$$t_{13} = 14.1371748702372$$
$$t_{14} = 48.6946861306418$$
$$t_{15} = -67.5442911095362$$
$$t_{16} = -64.4026493985908$$
$$t_{17} = 67.5442420521806$$
$$t_{18} = -70.6858347057703$$
$$t_{19} = -26.7035375555132$$
$$t_{20} = 42.4115008234622$$
$$t_{21} = -80.1105783828951$$
$$t_{22} = -73.827404839395$$
$$t_{23} = 4.71238898038469$$
$$t_{24} = 73.8274273593601$$
$$t_{25} = 20.42030673321$$
$$t_{26} = -7.85398163397448$$
$$t_{27} = -95.8185759344887$$
$$t_{28} = -36.1282765608558$$
$$t_{29} = -83.2522053201295$$
$$t_{30} = -1.5707963267949$$
$$t_{31} = -58.1194640914112$$
$$t_{32} = 58.1194603109949$$
$$t_{33} = 29.845130209103$$
$$t_{34} = 80.1106126665397$$
$$t_{35} = 20.4203109469995$$
$$t_{36} = 95.8186280030328$$
$$t_{37} = 51.8363266129711$$
$$t_{38} = 36.1283155162826$$
$$t_{39} = 61.261056745001$$
$$t_{40} = 92.6769832808989$$
$$t_{41} = -29.8451590169879$$
$$t_{42} = 17.2787595947439$$
$$t_{43} = -51.8362787842316$$
$$t_{44} = -45.553093477052$$
$$t_{45} = -14.1371669411541$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$4 \left(2 - 2 \sin{\left(t \right)}\right) \sin{\left(t \right)} + 8 \cos^{2}{\left(t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$t_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
$$t_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$t_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{5 \pi}{6}\right] \cup \left[- \frac{\pi}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{5 \pi}{6}, - \frac{\pi}{6}\right]$$
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$4 \left(2 - 2 \sin{\left(t \right)}\right) \sin{\left(t \right)} + 8 \cos^{2}{\left(t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$t_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
$$t_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
-5*pi ___ (-----, 6*\/ 3 ) 6
-pi ___ (----, -6*\/ 3 ) 6
pi (--, 0) 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$t_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{5 \pi}{6}\right] \cup \left[- \frac{\pi}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{5 \pi}{6}, - \frac{\pi}{6}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$- 8 \left(4 \sin{\left(t \right)} - 1\right) \cos{\left(t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$t_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(4 - \sqrt{15} \right)}$$
$$t_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} + 4 \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, 2 \operatorname{atan}{\left(4 - \sqrt{15} \right)}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$- 8 \left(4 \sin{\left(t \right)} - 1\right) \cos{\left(t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$t_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(4 - \sqrt{15} \right)}$$
$$t_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} + 4 \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, 2 \operatorname{atan}{\left(4 - \sqrt{15} \right)}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(2 \left(- 2 \cos{\left(t \right)}\right) \left(2 - 2 \sin{\left(t \right)}\right)\right) = \left\langle -16, 16\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -16, 16\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(2 \left(- 2 \cos{\left(t \right)}\right) \left(2 - 2 \sin{\left(t \right)}\right)\right) = \left\langle -16, 16\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -16, 16\right\rangle$$
$$\lim_{t \to -\infty}\left(2 \left(- 2 \cos{\left(t \right)}\right) \left(2 - 2 \sin{\left(t \right)}\right)\right) = \left\langle -16, 16\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -16, 16\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(2 \left(- 2 \cos{\left(t \right)}\right) \left(2 - 2 \sin{\left(t \right)}\right)\right) = \left\langle -16, 16\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -16, 16\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*(-2*cos(t)))*(-2*sin(t) + 2), dividida por t con t->+oo y t ->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(- \frac{4 \left(2 - 2 \sin{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(- \frac{4 \left(2 - 2 \sin{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{t \to -\infty}\left(- \frac{4 \left(2 - 2 \sin{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(- \frac{4 \left(2 - 2 \sin{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
$$2 \left(- 2 \cos{\left(t \right)}\right) \left(2 - 2 \sin{\left(t \right)}\right) = - 4 \left(2 \sin{\left(t \right)} + 2\right) \cos{\left(t \right)}$$
- No
$$2 \left(- 2 \cos{\left(t \right)}\right) \left(2 - 2 \sin{\left(t \right)}\right) = 4 \left(2 \sin{\left(t \right)} + 2\right) \cos{\left(t \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$2 \left(- 2 \cos{\left(t \right)}\right) \left(2 - 2 \sin{\left(t \right)}\right) = - 4 \left(2 \sin{\left(t \right)} + 2\right) \cos{\left(t \right)}$$
- No
$$2 \left(- 2 \cos{\left(t \right)}\right) \left(2 - 2 \sin{\left(t \right)}\right) = 4 \left(2 \sin{\left(t \right)} + 2\right) \cos{\left(t \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar