Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{2 x + 1}{x + 3} - \frac{\left(x^{2} + x\right) - 1}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3 - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = -3 + \sqrt{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2 \
___ | / ___\ ___|
___ -\/ 5 *\-4 + \-3 - \/ 5 / - \/ 5 /
(-3 - \/ 5, ------------------------------------)
5
/ 2\
___ | ___ / ___\ |
___ \/ 5 *\-4 + \/ 5 + \-3 + \/ 5 / /
(-3 + \/ 5, ----------------------------------)
5
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -3 + \sqrt{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -3 - \sqrt{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3 - \sqrt{5}\right] \cup \left[-3 + \sqrt{5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-3 - \sqrt{5}, -3 + \sqrt{5}\right]$$