Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • y=2x y=2x
  • 2*x^3-3*x 2*x^3-3*x
  • 3-x^2 3-x^2
  • 12^x 12^x
  • Expresiones idénticas

  • (x^ dos - uno)/(x^ dos - cuatro)
  • (x al cuadrado menos 1) dividir por (x al cuadrado menos 4)
  • (x en el grado dos menos uno) dividir por (x en el grado dos menos cuatro)
  • (x2-1)/(x2-4)
  • x2-1/x2-4
  • (x²-1)/(x²-4)
  • (x en el grado 2-1)/(x en el grado 2-4)
  • x^2-1/x^2-4
  • (x^2-1) dividir por (x^2-4)
  • Expresiones semejantes

  • (x^2-1)/(x^2+4)
  • (x^2+1)/(x^2-4)

Gráfico de la función y = (x^2-1)/(x^2-4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        2    
       x  - 1
f(x) = ------
        2    
       x  - 4
f(x)=x21x24f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4}
f = (x^2 - 1)/(x^2 - 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x21x24=0\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 1)/(x^2 - 4).
1+024+02\frac{-1 + 0^{2}}{-4 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=14f{\left(0 \right)} = \frac{1}{4}
Punto:
(0, 1/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xx242x(x21)(x24)2=0\frac{2 x}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1/4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(4x2x24+1+(x21)(4x2x241)x24)x24=0\frac{2 \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} + 1 + \frac{\left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4}\right)}{x^{2} - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(x21x24)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
limx(x21x24)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 1)/(x^2 - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(x21x(x24))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(x21x(x24))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x21x24=x21x24\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4}
- Sí
x21x24=x21x24\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4} = - \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4}
- No
es decir, función
es
par