Sr Examen

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(x^2+2x-1)/(2x-1)
Trazado el gráfico de la función/ (x^2+2x-1)/(2x-1)

Gráfico de la función y = (x^2+2x-1)/(2x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2          
       x  + 2*x - 1
f(x) = ------------
         2*x - 1
f(x)=(x2+2x)−12x−1f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}{2 x - 1} 
f = (x^2 + 2*x - 1)/(2*x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0.5x_{1} = 0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2+2x)−12x−1=0\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}{2 x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1+2x_{1} = -1 + \sqrt{2}
x2=−2−1x_{2} = - \sqrt{2} - 1
Solución numérica
x1=0.414213562373095x_{1} = 0.414213562373095
x2=−2.41421356237309x_{2} = -2.41421356237309
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 + 2*x - 1)/(2*x - 1).
−1+(02+0⋅2)−1+0⋅2\frac{-1 + \left(0^{2} + 0 \cdot 2\right)}{-1 + 0 \cdot 2}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+22x−1−2((x2+2x)−1)(2x−1)2=0\frac{2 x + 2}{2 x - 1} - \frac{2 \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(1, 2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[1,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,1]\left[0, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−4(x+1)2x−1+1+4(x2+2x−1)(2x−1)2)2x−1=0\frac{2 \left(- \frac{4 \left(x + 1\right)}{2 x - 1} + 1 + \frac{4 \left(x^{2} + 2 x - 1\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right)}{2 x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0.5x_{1} = 0.5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2+2x)−12x−1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}{2 x - 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2+2x)−12x−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}{2 x - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 2*x - 1)/(2*x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2+2x)−1x(2x−1))=12\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}{x \left(2 x - 1\right)}\right) = \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=x2y = \frac{x}{2}
lim⁡x→∞((x2+2x)−1x(2x−1))=12\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}{x \left(2 x - 1\right)}\right) = \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=x2y = \frac{x}{2}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2+2x)−12x−1=x2−2x−1−2x−1\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}{2 x - 1} = \frac{x^{2} - 2 x - 1}{- 2 x - 1}
- No
(x2+2x)−12x−1=−x2−2x−1−2x−1\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}{2 x - 1} = - \frac{x^{2} - 2 x - 1}{- 2 x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^2+2x-1)/(2x-1)
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