Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ √((x^2+3x+2)/(x+1))-1

Gráfico de la función y = √((x^2+3x+2)/(x+1))-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            ______________    
           /  2               
          /  x  + 3*x + 2     
f(x) =   /   ------------  - 1
       \/       x + 1
f(x)=(x2+3x)+2x+1−1f{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{\left(x^{2} + 3 x\right) + 2}{x + 1}} - 1 
f = sqrt((x^2 + 3*x + 2)/(x + 1)) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2+3x)+2x+1−1=0\sqrt{\frac{\left(x^{2} + 3 x\right) + 2}{x + 1}} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=−0.999999999999981x_{2} = -0.999999999999981
x3=−0.999999999999969x_{3} = -0.999999999999969
x4=−1x_{4} = -1
x5=−1x_{5} = -1
x6=−0.999999999999988x_{6} = -0.999999999999988
x7=−1.00000000000018x_{7} = -1.00000000000018
x8=−1x_{8} = -1
x9=−0.999999999999999x_{9} = -0.999999999999999
x10=−1x_{10} = -1
x11=−1.00000000000001x_{11} = -1.00000000000001
x12=−0.999999999999968x_{12} = -0.999999999999968
x13=−0.999999999999968x_{13} = -0.999999999999968
x14=−0.999999999999998x_{14} = -0.999999999999998
x15=−1.00000000000003x_{15} = -1.00000000000003
x16=−0.999999999999998x_{16} = -0.999999999999998
x17=−0.999999999999999x_{17} = -0.999999999999999
x18=−1.0000000000009x_{18} = -1.0000000000009
x19=−1.00000000000002x_{19} = -1.00000000000002
x20=−1x_{20} = -1
x21=−0.999999999999844x_{21} = -0.999999999999844
x22=−1.00000000000024x_{22} = -1.00000000000024
x23=−0.999999999999999x_{23} = -0.999999999999999
x24=−1.00000000000002x_{24} = -1.00000000000002
x25=−1.0000000000004x_{25} = -1.0000000000004
x26=−0.999999999999984x_{26} = -0.999999999999984
x27=−0.999999999999992x_{27} = -0.999999999999992
x28=−1x_{28} = -1
x29=−0.999999999999993x_{29} = -0.999999999999993
x30=−1x_{30} = -1
x31=−0.999999999999996x_{31} = -0.999999999999996
x32=−0.999999999999985x_{32} = -0.999999999999985
x33=−0.999999999999947x_{33} = -0.999999999999947
x34=−1.00000000000001x_{34} = -1.00000000000001
x35=−1.00000000000001x_{35} = -1.00000000000001
x36=−1x_{36} = -1
x37=−1.00000000000006x_{37} = -1.00000000000006
x38=−1x_{38} = -1
x39=−0.999999999999998x_{39} = -0.999999999999998
x40=−0.999999999999728x_{40} = -0.999999999999728
x41=−1.00000000000001x_{41} = -1.00000000000001
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt((x^2 + 3*x + 2)/(x + 1)) - 1.
−1+(02+0⋅3)+21-1 + \sqrt{\frac{\left(0^{2} + 0 \cdot 3\right) + 2}{1}}
Resultado:
f(0)=−1+2f{\left(0 \right)} = -1 + \sqrt{2}
Punto:
(0, -1 + sqrt(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x2+3x)+2x+1(x+1)(2x+32(x+1)−(x2+3x)+22(x+1)2)(x2+3x)+2=0\frac{\sqrt{\frac{\left(x^{2} + 3 x\right) + 2}{x + 1}} \left(x + 1\right) \left(\frac{2 x + 3}{2 \left(x + 1\right)} - \frac{\left(x^{2} + 3 x\right) + 2}{2 \left(x + 1\right)^{2}}\right)}{\left(x^{2} + 3 x\right) + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x2+3x+2x+1(−(2x+3)(2x+3−x2+3x+2x+1)2(x2+3x+2)+(2x+3−x2+3x+2x+1)24(x2+3x+2)+1−2x+3x+1+2x+3−x2+3x+2x+12(x+1)+x2+3x+2(x+1)2)x2+3x+2=0\frac{\sqrt{\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x + 1}} \left(- \frac{\left(2 x + 3\right) \left(2 x + 3 - \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x + 1}\right)}{2 \left(x^{2} + 3 x + 2\right)} + \frac{\left(2 x + 3 - \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x + 1}\right)^{2}}{4 \left(x^{2} + 3 x + 2\right)} + 1 - \frac{2 x + 3}{x + 1} + \frac{2 x + 3 - \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x + 1}}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{x^{2} + 3 x + 2}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x^{2} + 3 x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2+3x)+2x+1−1)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{\frac{\left(x^{2} + 3 x\right) + 2}{x + 1}} - 1\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2+3x)+2x+1−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{\frac{\left(x^{2} + 3 x\right) + 2}{x + 1}} - 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt((x^2 + 3*x + 2)/(x + 1)) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2+3x)+2x+1−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{\left(x^{2} + 3 x\right) + 2}{x + 1}} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x2+3x)+2x+1−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{\left(x^{2} + 3 x\right) + 2}{x + 1}} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2+3x)+2x+1−1=x2−3x+21−x−1\sqrt{\frac{\left(x^{2} + 3 x\right) + 2}{x + 1}} - 1 = \sqrt{\frac{x^{2} - 3 x + 2}{1 - x}} - 1
- No
(x2+3x)+2x+1−1=1−x2−3x+21−x\sqrt{\frac{\left(x^{2} + 3 x\right) + 2}{x + 1}} - 1 = 1 - \sqrt{\frac{x^{2} - 3 x + 2}{1 - x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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