Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 3sinx+5cosx

Gráfico de la función y = 3sinx+5cosx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 3*sin(x) + 5*cos(x)
f(x)=3sin⁡(x)+5cos⁡(x)f{\left(x \right)} = 3 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} 
f = 3*sin(x) + 5*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3sin⁡(x)+5cos⁡(x)=03 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−atan⁡(53)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}
Solución numérica
x1=71.2262542060409x_{1} = 71.2262542060409
x2=−38.7294886696018x_{2} = -38.7294886696018
x3=−85.8533784734487x_{3} = -85.8533784734487
x4=99.5005880883491x_{4} = 99.5005880883491
x5=105.783773395529x_{5} = 105.783773395529
x6=−63.8622298983202x_{6} = -63.8622298983202
x7=−95.2781564342181x_{7} = -95.2781564342181
x8=−10.4551547872937x_{8} = -10.4551547872937
x9=−32.4463033624222x_{9} = -32.4463033624222
x10=−35.587896016012x_{10} = -35.587896016012
x11=−73.2870078590896x_{11} = -73.2870078590896
x12=−1.03037682652431x_{12} = -1.03037682652431
x13=5.25280848065527x_{13} = 5.25280848065527
x14=46.0935129773226x_{14} = 46.0935129773226
x15=55.518290938092x_{15} = 55.518290938092
x16=−13.5967474408835x_{16} = -13.5967474408835
x17=−41.8710813231916x_{17} = -41.8710813231916
x18=36.6687350165532x_{18} = 36.6687350165532
x19=83.7926248204001x_{19} = 83.7926248204001
x20=64.9430688988613x_{20} = 64.9430688988613
x21=96.3589954347593x_{21} = 96.3589954347593
x22=77.5094395132205x_{22} = 77.5094395132205
x23=−88.9949711270385x_{23} = -88.9949711270385
x24=86.9342174739899x_{24} = 86.9342174739899
x25=−29.3047107088325x_{25} = -29.3047107088325
x26=−23.0215254016529x_{26} = -23.0215254016529
x27=−315.189642185504x_{27} = -315.189642185504
x28=−45.0126739767814x_{28} = -45.0126739767814
x29=58.6598835916818x_{29} = 58.6598835916818
x30=80.6510321668103x_{30} = 80.6510321668103
x31=−54.4374519375508x_{31} = -54.4374519375508
x32=−26.1631180552427x_{32} = -26.1631180552427
x33=61.8014762452716x_{33} = 61.8014762452716
x34=33.5271423629634x_{34} = 33.5271423629634
x35=165.474033813735x_{35} = 165.474033813735
x36=−19.8799327480631x_{36} = -19.8799327480631
x37=17.8191790950144x_{37} = 17.8191790950144
x38=−51.295859283961x_{38} = -51.295859283961
x39=74.3678468596307x_{39} = 74.3678468596307
x40=102.642180741939x_{40} = 102.642180741939
x41=−57.5790445911406x_{41} = -57.5790445911406
x42=−76.4286005126794x_{42} = -76.4286005126794
x43=42.9519203237328x_{43} = 42.9519203237328
x44=68.0846615524511x_{44} = 68.0846615524511
x45=52.3766982845022x_{45} = 52.3766982845022
x46=−60.7206372447304x_{46} = -60.7206372447304
x47=93.2174027811695x_{47} = 93.2174027811695
x48=27.2439570557838x_{48} = 27.2439570557838
x49=90.0758101275797x_{49} = 90.0758101275797
x50=−82.7117858198589x_{50} = -82.7117858198589
x51=−98.4197490878079x_{51} = -98.4197490878079
x52=−79.5701931662691x_{52} = -79.5701931662691
x53=−70.1454152054998x_{53} = -70.1454152054998
x54=−92.1365637806283x_{54} = -92.1365637806283
x55=14.6775864414247x_{55} = 14.6775864414247
x56=−16.7383400944733x_{56} = -16.7383400944733
x57=39.810327670143x_{57} = 39.810327670143
x58=−48.1542666303712x_{58} = -48.1542666303712
x59=8.39440113424507x_{59} = 8.39440113424507
x60=−4.17196948011411x_{60} = -4.17196948011411
x61=−67.00382255191x_{61} = -67.00382255191
x62=11.5359937878349x_{62} = 11.5359937878349
x63=30.3855497093736x_{63} = 30.3855497093736
x64=−7.3135621337039x_{64} = -7.3135621337039
x65=2.11121582706548x_{65} = 2.11121582706548
x66=24.102364402194x_{66} = 24.102364402194
x67=20.9607717486042x_{67} = 20.9607717486042
x68=49.2351056309124x_{68} = 49.2351056309124
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*sin(x) + 5*cos(x).
3sin⁡(0)+5cos⁡(0)3 \sin{\left(0 \right)} + 5 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=5f{\left(0 \right)} = 5
Punto:
(0, 5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−5sin⁡(x)+3cos⁡(x)=0- 5 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(35)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{5} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
              ____ 
(atan(3/5), \/ 34 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=atan⁡(35)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{5} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,atan⁡(35)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{5} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[atan⁡(35),∞)\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{5} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(3sin⁡(x)+5cos⁡(x))=0- (3 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(53)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−atan⁡(53)]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}\right]
Convexa en los intervalos
[−atan⁡(53),∞)\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(x)+5cos⁡(x))=⟨−8,8⟩\lim_{x \to -\infty}\left(3 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -8, 8\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−8,8⟩y = \left\langle -8, 8\right\rangle
lim⁡x→∞(3sin⁡(x)+5cos⁡(x))=⟨−8,8⟩\lim_{x \to \infty}\left(3 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -8, 8\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−8,8⟩y = \left\langle -8, 8\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*sin(x) + 5*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(x)+5cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3sin⁡(x)+5cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3sin⁡(x)+5cos⁡(x)=−3sin⁡(x)+5cos⁡(x)3 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} = - 3 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}
- No
3sin⁡(x)+5cos⁡(x)=3sin⁡(x)−5cos⁡(x)3 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} = 3 \sin{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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