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Trazado el gráfico de la función/ y=3arctgx+2x

Gráfico de la función y = y=3arctgx+2x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 3*acot(x) + 2*x
f(x)=2x+3acot⁡(x)f{\left(x \right)} = 2 x + 3 \operatorname{acot}{\left(x \right)} 
f = 2*x + 3*acot(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2x+3acot⁡(x)=02 x + 3 \operatorname{acot}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*acot(x) + 2*x.
0⋅2+3acot⁡(0)0 \cdot 2 + 3 \operatorname{acot}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=3π2f{\left(0 \right)} = \frac{3 \pi}{2}
Punto:
(0, 3*pi/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2−3x2+1=02 - \frac{3}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−22x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
x2=22x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
    ___                   /  ___\ 
 -\/ 2        ___         |\/ 2 | 
(-------, - \/ 2  - 3*acot|-----|)
    2                     \  2  / 

   ___                /  ___\ 
 \/ 2     ___         |\/ 2 | 
(-----, \/ 2  + 3*acot|-----|)
   2                  \  2  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=22x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=−22x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−22]∪[22,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−22,22]\left[- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6x(x2+1)2=0\frac{6 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2x+3acot⁡(x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(2 x + 3 \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(2x+3acot⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(2 x + 3 \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*acot(x) + 2*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2x+3acot⁡(x)x)=2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 3 \operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=2xy = 2 x
lim⁡x→∞(2x+3acot⁡(x)x)=2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 3 \operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=2xy = 2 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2x+3acot⁡(x)=−2x−3acot⁡(x)2 x + 3 \operatorname{acot}{\left(x \right)} = - 2 x - 3 \operatorname{acot}{\left(x \right)}
- No
2x+3acot⁡(x)=2x+3acot⁡(x)2 x + 3 \operatorname{acot}{\left(x \right)} = 2 x + 3 \operatorname{acot}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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