Sr Examen

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Gráfico de la función y = ((2x^3)-(3x^2)-2x+1)/(1-3x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          3      2          
       2*x  - 3*x  - 2*x + 1
f(x) = ---------------------
                     2      
              1 - 3*x       
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{1 - 3 x^{2}}$$
f = (-2*x + 2*x^3 - 3*x^2 + 1)/(1 - 3*x^2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -0.577350269189626$$
$$x_{2} = 0.577350269189626$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{1 - 3 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{7}{12 \sqrt[3]{\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{237} i}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{237} i}{36}}$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*x^3 - 3*x^2 - 2*x + 1)/(1 - 3*x^2).
$$\frac{\left(\left(2 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{2}\right) - 0\right) + 1}{1 - 3 \cdot 0^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{6 x \left(\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1\right)}{\left(1 - 3 x^{2}\right)^{2}} + \frac{6 x^{2} - 6 x - 2}{1 - 3 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{6 \left(2 x + \frac{4 x \left(- 3 x^{2} + 3 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1} - 1 + \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 1} - 1\right) \left(2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.577350269189626$$
$$x_{2} = 0.577350269189626$$

$$\lim_{x \to -0.577350269189626^-}\left(- \frac{6 \left(2 x + \frac{4 x \left(- 3 x^{2} + 3 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1} - 1 + \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 1} - 1\right) \left(2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -0.577350269189626^+}\left(- \frac{6 \left(2 x + \frac{4 x \left(- 3 x^{2} + 3 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1} - 1 + \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 1} - 1\right) \left(2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -0.577350269189626$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0.577350269189626^-}\left(- \frac{6 \left(2 x + \frac{4 x \left(- 3 x^{2} + 3 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1} - 1 + \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 1} - 1\right) \left(2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0.577350269189626^+}\left(- \frac{6 \left(2 x + \frac{4 x \left(- 3 x^{2} + 3 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1} - 1 + \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 1} - 1\right) \left(2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0.577350269189626$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -0.577350269189626$$
$$x_{2} = 0.577350269189626$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{1 - 3 x^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{1 - 3 x^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x^3 - 3*x^2 - 2*x + 1)/(1 - 3*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{x \left(1 - 3 x^{2}\right)}\right) = - \frac{2}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \frac{2 x}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{x \left(1 - 3 x^{2}\right)}\right) = - \frac{2}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - \frac{2 x}{3}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{1 - 3 x^{2}} = \frac{- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1}{1 - 3 x^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{1 - 3 x^{2}} = - \frac{- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1}{1 - 3 x^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar