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|z|^2

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • 1/(x^2+4) 1/(x^2+4)
  • y^2 y^2
  • x^2*e^x x^2*e^x
  • sqrt(y) sqrt(y)

  • Expresiones idénticas

  • |z|^ dos
  • módulo de z| al cuadrado
  • módulo de z| en el grado dos
  • |z|2
  • |z|²
  • |z| en el grado 2
Trazado el gráfico de la función/ |z|^2

Gráfico de la función y = |z|^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2
f(z) = |z|
f(z)=∣z∣2f{\left(z \right)} = \left|{z}\right|^{2} 
f = |z|^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Z con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣z∣2=0\left|{z}\right|^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Z:

Solución analítica
z1=0z_{1} = 0
Solución numérica
z1=0z_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando z es igual a 0:
sustituimos z = 0 en |z|^2.
∣0∣2\left|{0}\right|^{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddzf(z)=0\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddzf(z)=\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} =
primera derivada
2∣z∣sign⁡(z)=02 \left|{z}\right| \operatorname{sign}{\left(z \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
z1=0z_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
z1=0z_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dz2f(z)=0\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dz2f(z)=\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} =
segunda derivada
2(2∣z∣δ(z)+sign⁡2(z))=02 \left(2 \left|{z}\right| \delta\left(z\right) + \operatorname{sign}^{2}{\left(z \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con z->+oo y z->-oo
lim⁡z→−∞∣z∣2=∞\lim_{z \to -\infty} \left|{z}\right|^{2} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡z→∞∣z∣2=∞\lim_{z \to \infty} \left|{z}\right|^{2} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |z|^2, dividida por z con z->+oo y z ->-oo
lim⁡z→−∞z=−∞\lim_{z \to -\infty} z = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡z→∞z=∞\lim_{z \to \infty} z = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-z) и f = -f(-z).
Pues, comprobamos:
∣z∣2=∣z∣2\left|{z}\right|^{2} = \left|{z}\right|^{2}
- Sí
∣z∣2=−∣z∣2\left|{z}\right|^{2} = - \left|{z}\right|^{2}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = |z|^2
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