Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
-sqrt(3*x+1)
-
x*(-1-log(x))
-
x+1/(x-1)^2
-
Expresiones idénticas
- x³-x²- cuatro x+4
- x³ menos x² menos 4x más 4
- x³ menos x² menos cuatro x más 4
-
Expresiones semejantes
- x³+x²-4x+4
- x³-x²+4x+4
- x³-x²-4x-4
Gráfico de la función y = x³-x²-4x+4
Solución
Ha introducido
[src]
3 2 f(x) = x - x - 4*x + 4
$$f{\left(x \right)} = \left(- 4 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 4$$
f = -4*x + x^3 - x^2 + 4
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 4 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 4 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 4 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 4 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x^{2} - 2 x - 4 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}\right] \cup \left[\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}, \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x^{2} - 2 x - 4 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
3 2
____ / ____\ / ____\ ____
1 \/ 13 8 |1 \/ 13 | |1 \/ 13 | 4*\/ 13
(- - ------, - + |- - ------| - |- - ------| + --------)
3 3 3 \3 3 / \3 3 / 3 3 2
____ / ____\ / ____\ ____
1 \/ 13 8 |1 \/ 13 | |1 \/ 13 | 4*\/ 13
(- + ------, - + |- + ------| - |- + ------| - --------)
3 3 3 \3 3 / \3 3 / 3 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}\right] \cup \left[\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}, \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 x - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{1}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 x - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{1}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 4 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 4\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 4 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 4\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 4 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 4\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 4 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 4\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - x^2 - 4*x + 4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 4 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 4}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 4 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 4}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 4 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 4}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 4 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 4}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- 4 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 4 = - x^{3} - x^{2} + 4 x + 4$$
- No
$$\left(- 4 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 4 = x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(- 4 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 4 = - x^{3} - x^{2} + 4 x + 4$$
- No
$$\left(- 4 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 4 = x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar