Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
x*(-1-log(x))
-
e^3*x+10*e^2*x
-
x^2/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- x=((dos -y)/(y- uno))^ uno / tres
- x es igual a ((2 menos y) dividir por (y menos 1)) en el grado 1 dividir por 3
- x es igual a ((dos menos y) dividir por (y menos uno)) en el grado uno dividir por tres
- x=((2-y)/(y-1))1/3
- x=2-y/y-11/3
- x=2-y/y-1^1/3
- x=((2-y) dividir por (y-1))^1 dividir por 3
-
Expresiones semejantes
- x=((2+y)/(y-1))^1/3
- x=((2-y)/(y+1))^1/3
Gráfico de la función y = x=((2-y)/(y-1))^1/3
Solución
Ha introducido
[src]
_______
/ 2 - y
f(y) = 3 / -----
\/ y - 1
$$f{\left(y \right)} = \sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}}$$
f = ((2 - y)/(y - 1))^(1/3)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$y_{1} = 1$$
$$y_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:
Solución analítica
$$y_{1} = 2$$
Solución numérica
$$y_{1} = 2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:
Solución analítica
$$y_{1} = 2$$
Solución numérica
$$y_{1} = 2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}} \left(y - 1\right) \left(- \frac{2 - y}{3 \left(y - 1\right)^{2}} - \frac{1}{3 \left(y - 1\right)}\right)}{2 - y} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}} \left(y - 1\right) \left(- \frac{2 - y}{3 \left(y - 1\right)^{2}} - \frac{1}{3 \left(y - 1\right)}\right)}{2 - y} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sqrt[3]{- \frac{y - 2}{y - 1}} \left(\frac{y - 2}{y - 1} - 1\right) \left(\frac{3}{y - 1} + \frac{\frac{y - 2}{y - 1} - 1}{y - 2} + \frac{3}{y - 2}\right)}{9 \left(y - 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = \frac{5}{3}$$
$$y_{2} = \frac{2 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}}{1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}}$$
$$y_{3} = \frac{2 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}}{1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$y_{1} = 1$$
$$\lim_{y \to 1^-}\left(\frac{\sqrt[3]{- \frac{y - 2}{y - 1}} \left(\frac{y - 2}{y - 1} - 1\right) \left(\frac{3}{y - 1} + \frac{\frac{y - 2}{y - 1} - 1}{y - 2} + \frac{3}{y - 2}\right)}{9 \left(y - 2\right)}\right) = \infty \left(0.5 + 0.866025403784439 i\right)$$
$$\lim_{y \to 1^+}\left(\frac{\sqrt[3]{- \frac{y - 2}{y - 1}} \left(\frac{y - 2}{y - 1} - 1\right) \left(\frac{3}{y - 1} + \frac{\frac{y - 2}{y - 1} - 1}{y - 2} + \frac{3}{y - 2}\right)}{9 \left(y - 2\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$y_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{3}\right] \cap \left(-\infty, \frac{5}{2 \left(1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}\right)}\right] \cap \left(-\infty, \frac{5}{2 \left(1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}\right)}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{5}{3}, \infty\right) \cap \left[\frac{5}{2 \left(1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}\right)}, \infty\right) \cap \left[\frac{5}{2 \left(1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}\right)}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sqrt[3]{- \frac{y - 2}{y - 1}} \left(\frac{y - 2}{y - 1} - 1\right) \left(\frac{3}{y - 1} + \frac{\frac{y - 2}{y - 1} - 1}{y - 2} + \frac{3}{y - 2}\right)}{9 \left(y - 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = \frac{5}{3}$$
$$y_{2} = \frac{2 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}}{1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}}$$
$$y_{3} = \frac{2 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}}{1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$y_{1} = 1$$
$$\lim_{y \to 1^-}\left(\frac{\sqrt[3]{- \frac{y - 2}{y - 1}} \left(\frac{y - 2}{y - 1} - 1\right) \left(\frac{3}{y - 1} + \frac{\frac{y - 2}{y - 1} - 1}{y - 2} + \frac{3}{y - 2}\right)}{9 \left(y - 2\right)}\right) = \infty \left(0.5 + 0.866025403784439 i\right)$$
$$\lim_{y \to 1^+}\left(\frac{\sqrt[3]{- \frac{y - 2}{y - 1}} \left(\frac{y - 2}{y - 1} - 1\right) \left(\frac{3}{y - 1} + \frac{\frac{y - 2}{y - 1} - 1}{y - 2} + \frac{3}{y - 2}\right)}{9 \left(y - 2\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$y_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{3}\right] \cap \left(-\infty, \frac{5}{2 \left(1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}\right)}\right] \cap \left(-\infty, \frac{5}{2 \left(1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}\right)}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{5}{3}, \infty\right) \cap \left[\frac{5}{2 \left(1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}\right)}, \infty\right) \cap \left[\frac{5}{2 \left(1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}\right)}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$y_{1} = 1$$
$$y_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty} \sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}} = \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \sqrt[3]{-1}$$
$$\lim_{y \to \infty} \sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}} = \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \sqrt[3]{-1}$$
$$\lim_{y \to -\infty} \sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}} = \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \sqrt[3]{-1}$$
$$\lim_{y \to \infty} \sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}} = \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \sqrt[3]{-1}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((2 - y)/(y - 1))^(1/3), dividida por y con y->+oo y y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}}}{y}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}}}{y}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}}}{y}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}}}{y}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}} = \sqrt[3]{\frac{y + 2}{- y - 1}}$$
- No
$$\sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}} = - \sqrt[3]{\frac{y + 2}{- y - 1}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}} = \sqrt[3]{\frac{y + 2}{- y - 1}}$$
- No
$$\sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}} = - \sqrt[3]{\frac{y + 2}{- y - 1}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar