Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • y=-x^3+3x-2 y=-x^3+3x-2
  • y=(x+1)^3 y=(x+1)^3
  • 2*x^2-6*x 2*x^2-6*x
  • y=2x y=2x

  • Expresiones idénticas

  • x=((dos -y)/(y- uno))^ uno / tres
  • x es igual a ((2 menos y) dividir por (y menos 1)) en el grado 1 dividir por 3
  • x es igual a ((dos menos y) dividir por (y menos uno)) en el grado uno dividir por tres
  • x=((2-y)/(y-1))1/3
  • x=2-y/y-11/3
  • x=2-y/y-1^1/3
  • x=((2-y) dividir por (y-1))^1 dividir por 3

  • Expresiones semejantes

  • x=((2+y)/(y-1))^1/3
  • x=((2-y)/(y+1))^1/3
Trazado el gráfico de la función/ x=((2-y)/(y-1))^1/3

Gráfico de la función y = x=((2-y)/(y-1))^1/3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           _______
          / 2 - y 
f(y) = 3 /  ----- 
       \/   y - 1
f(y)=2−yy−13f{\left(y \right)} = \sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}} 
f = ((2 - y)/(y - 1))^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.05.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
y1=1y_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2−yy−13=0\sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:

Solución analítica
y1=2y_{1} = 2
Solución numérica
y1=2y_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando y es igual a 0:
sustituimos y = 0 en ((2 - y)/(y - 1))^(1/3).
2−0−13\sqrt[3]{\frac{2 - 0}{-1}}
Resultado:
f(0)=−23f{\left(0 \right)} = \sqrt[3]{-2}
Punto:
(0, (-2)^(1/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddyf(y)=0\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddyf(y)=\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} =
primera derivada
2−yy−13(y−1)(−2−y3(y−1)2−13(y−1))2−y=0\frac{\sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}} \left(y - 1\right) \left(- \frac{2 - y}{3 \left(y - 1\right)^{2}} - \frac{1}{3 \left(y - 1\right)}\right)}{2 - y} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dy2f(y)=0\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dy2f(y)=\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} =
segunda derivada
−y−2y−13(y−2y−1−1)(3y−1+y−2y−1−1y−2+3y−2)9(y−2)=0\frac{\sqrt[3]{- \frac{y - 2}{y - 1}} \left(\frac{y - 2}{y - 1} - 1\right) \left(\frac{3}{y - 1} + \frac{\frac{y - 2}{y - 1} - 1}{y - 2} + \frac{3}{y - 2}\right)}{9 \left(y - 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
y1=53y_{1} = \frac{5}{3}
y2=2+(−2234−2233i4)31+(−2234−2233i4)3y_{2} = \frac{2 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}}{1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}}
y3=2+(−2234+2233i4)31+(−2234+2233i4)3y_{3} = \frac{2 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}}{1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
y1=1y_{1} = 1

lim⁡y→1−(−y−2y−13(y−2y−1−1)(3y−1+y−2y−1−1y−2+3y−2)9(y−2))=∞(0.5+0.866025403784439i)\lim_{y \to 1^-}\left(\frac{\sqrt[3]{- \frac{y - 2}{y - 1}} \left(\frac{y - 2}{y - 1} - 1\right) \left(\frac{3}{y - 1} + \frac{\frac{y - 2}{y - 1} - 1}{y - 2} + \frac{3}{y - 2}\right)}{9 \left(y - 2\right)}\right) = \infty \left(0.5 + 0.866025403784439 i\right)
lim⁡y→1+(−y−2y−13(y−2y−1−1)(3y−1+y−2y−1−1y−2+3y−2)9(y−2))=∞\lim_{y \to 1^+}\left(\frac{\sqrt[3]{- \frac{y - 2}{y - 1}} \left(\frac{y - 2}{y - 1} - 1\right) \left(\frac{3}{y - 1} + \frac{\frac{y - 2}{y - 1} - 1}{y - 2} + \frac{3}{y - 2}\right)}{9 \left(y - 2\right)}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
y1=1y_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,53]∩(−∞,52(1+(−2234−2233i4)3)]∩(−∞,52(1+(−2234+2233i4)3)]\left(-\infty, \frac{5}{3}\right] \cap \left(-\infty, \frac{5}{2 \left(1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}\right)}\right] \cap \left(-\infty, \frac{5}{2 \left(1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}\right)}\right]
Convexa en los intervalos
[53,∞)∩[52(1+(−2234−2233i4)3),∞)∩[52(1+(−2234+2233i4)3),∞)\left[\frac{5}{3}, \infty\right) \cap \left[\frac{5}{2 \left(1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}\right)}, \infty\right) \cap \left[\frac{5}{2 \left(1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)^{3}\right)}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
y1=1y_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
lim⁡y→−∞2−yy−13=−13\lim_{y \to -\infty} \sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}} = \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−13y = \sqrt[3]{-1}
lim⁡y→∞2−yy−13=−13\lim_{y \to \infty} \sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}} = \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−13y = \sqrt[3]{-1}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((2 - y)/(y - 1))^(1/3), dividida por y con y->+oo y y ->-oo
lim⁡y→−∞(2−yy−13y)=0\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}}}{y}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡y→∞(2−yy−13y)=0\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}}}{y}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
2−yy−13=y+2−y−13\sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}} = \sqrt[3]{\frac{y + 2}{- y - 1}}
- No
2−yy−13=−y+2−y−13\sqrt[3]{\frac{2 - y}{y - 1}} = - \sqrt[3]{\frac{y + 2}{- y - 1}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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