El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0 o sea hay que resolver la ecuación: (−x4+6x2)−9=0 Resolvermos esta ecuación Puntos de cruce con el eje X:
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0: sustituimos x = 0 en -x^4 + 6*x^2 - 9. −9+(−04+6⋅02) Resultado: f(0)=−9 Punto:
(0, -9)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación dxdf(x)=0 (la derivada es igual a cero), y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función: dxdf(x)= primera derivada −4x3+12x=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=0 x2=−3 x3=3 Signos de extremos en los puntos:
(0, -9)
___
(-\/ 3, 0)
___
(\/ 3, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo: Puntos mínimos de la función: x1=0 Puntos máximos de la función: x1=−3 x1=3 Decrece en los intervalos (−∞,−3]∪[0,∞) Crece en los intervalos (−∞,0]∪[3,∞)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación dx2d2f(x)=0 (la segunda derivada es igual a cero), las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado: dx2d2f(x)= segunda derivada 12(1−x2)=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=−1 x2=1
Intervalos de convexidad y concavidad: Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones: Cóncava en los intervalos [−1,1] Convexa en los intervalos (−∞,−1]∪[1,∞)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo x→−∞lim((−x4+6x2)−9)=−∞ Tomamos como el límite es decir, no hay asíntota horizontal a la izquierda x→∞lim((−x4+6x2)−9)=−∞ Tomamos como el límite es decir, no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -x^4 + 6*x^2 - 9, dividida por x con x->+oo y x ->-oo x→−∞lim(x(−x4+6x2)−9)=∞ Tomamos como el límite es decir, no hay asíntota inclinada a la izquierda x→∞lim(x(−x4+6x2)−9)=−∞ Tomamos como el límite es decir, no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x). Pues, comprobamos: (−x4+6x2)−9=(−x4+6x2)−9 - Sí (−x4+6x2)−9=(x4−6x2)+9 - No es decir, función es par