Sr Examen

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-x^4+6x^2-9
Trazado el gráfico de la función/ -x^4+6x^2-9

Gráfico de la función y = -x^4+6x^2-9

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          4      2    
f(x) = - x  + 6*x  - 9
f(x)=(−x4+6x2)−9f{\left(x \right)} = \left(- x^{4} + 6 x^{2}\right) - 9 
f = -x^4 + 6*x^2 - 9
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x4+6x2)−9=0\left(- x^{4} + 6 x^{2}\right) - 9 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = - \sqrt{3}
x2=3x_{2} = \sqrt{3}
Solución numérica
x1=1.73205080756888x_{1} = 1.73205080756888
x2=−1.73205080756888x_{2} = -1.73205080756888
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -x^4 + 6*x^2 - 9.
−9+(−04+6⋅02)-9 + \left(- 0^{4} + 6 \cdot 0^{2}\right)
Resultado:
f(0)=−9f{\left(0 \right)} = -9
Punto:
(0, -9)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4x3+12x=0- 4 x^{3} + 12 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−3x_{2} = - \sqrt{3}
x3=3x_{3} = \sqrt{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, -9)

    ___    
(-\/ 3, 0)

   ___    
(\/ 3, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−3x_{1} = - \sqrt{3}
x1=3x_{1} = \sqrt{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−3]∪[0,∞)\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[3,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
12(1−x2)=012 \left(1 - x^{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−1,1]\left[-1, 1\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−1]∪[1,∞)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−x4+6x2)−9)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x^{4} + 6 x^{2}\right) - 9\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−x4+6x2)−9)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x^{4} + 6 x^{2}\right) - 9\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -x^4 + 6*x^2 - 9, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x4+6x2)−9x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{4} + 6 x^{2}\right) - 9}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−x4+6x2)−9x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{4} + 6 x^{2}\right) - 9}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x4+6x2)−9=(−x4+6x2)−9\left(- x^{4} + 6 x^{2}\right) - 9 = \left(- x^{4} + 6 x^{2}\right) - 9
- Sí
(−x4+6x2)−9=(x4−6x2)+9\left(- x^{4} + 6 x^{2}\right) - 9 = \left(x^{4} - 6 x^{2}\right) + 9
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = -x^4+6x^2-9
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