Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-x^2-2*x+4
-
(x^2+1)(x-1)
-
-x^2*(1-x^4)/(-1-x^4)
-
(x+1)*(7-x)^(1/2)
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos +x- dos)/(dos *x^ tres + seis *x^ dos - dos *x- seis)
- (x al cuadrado más x menos 2) dividir por (2 multiplicar por x al cubo más 6 multiplicar por x al cuadrado menos 2 multiplicar por x menos 6)
- (x en el grado dos más x menos dos) dividir por (dos multiplicar por x en el grado tres más seis multiplicar por x en el grado dos menos dos multiplicar por x menos seis)
- (x2+x-2)/(2*x3+6*x2-2*x-6)
- x2+x-2/2*x3+6*x2-2*x-6
- (x²+x-2)/(2*x³+6*x²-2*x-6)
- (x en el grado 2+x-2)/(2*x en el grado 3+6*x en el grado 2-2*x-6)
- (x^2+x-2)/(2x^3+6x^2-2x-6)
- (x2+x-2)/(2x3+6x2-2x-6)
- x2+x-2/2x3+6x2-2x-6
- x^2+x-2/2x^3+6x^2-2x-6
- (x^2+x-2) dividir por (2*x^3+6*x^2-2*x-6)
-
Expresiones semejantes
- (x^2+x-2)/(2*x^3-6*x^2-2*x-6)
- (x^2+x+2)/(2*x^3+6*x^2-2*x-6)
- (x^2+x-2)/(2*x^3+6*x^2-2*x+6)
- (x^2-x-2)/(2*x^3+6*x^2-2*x-6)
- (x^2+x-2)/(2*x^3+6*x^2+2*x-6)
Gráfico de la función y = (x^2+x-2)/(2*x^3+6*x^2-2*x-6)
Solución
Ha introducido
[src]
2
x + x - 2
f(x) = ---------------------
3 2
2*x + 6*x - 2*x - 6
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6}$$
f = (x^2 + x - 2)/(-2*x + 2*x^3 + 6*x^2 - 6)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x + 1}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6} + \frac{\left(\left(x^{2} + x\right) - 2\right) \left(- 6 x^{2} - 12 x + 2\right)}{\left(\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x + 1}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6} + \frac{\left(\left(x^{2} + x\right) - 2\right) \left(- 6 x^{2} - 12 x + 2\right)}{\left(\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 1$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-2, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 1$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-2, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + x - 2)/(2*x^3 + 6*x^2 - 2*x - 6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{x \left(\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{x \left(\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{x \left(\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{x \left(\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6} = \frac{x^{2} - x - 2}{- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x - 6}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6} = - \frac{x^{2} - x - 2}{- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x - 6}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6} = \frac{x^{2} - x - 2}{- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x - 6}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6} = - \frac{x^{2} - x - 2}{- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x - 6}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico