Sr Examen

Otras calculadoras

(x^2+x-2)/(2*x^3+6*x^2-2*x-6)
Trazado el gráfico de la función/ (x^2+x-2)/(2*x^3+6*x^2-2*x-6)

Gráfico de la función y = (x^2+x-2)/(2*x^3+6*x^2-2*x-6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              2             
             x  + x - 2     
f(x) = ---------------------
          3      2          
       2*x  + 6*x  - 2*x - 6
f(x)=(x2+x)−2(−2x+(2x3+6x2))−6f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6} 
f = (x^2 + x - 2)/(-2*x + 2*x^3 + 6*x^2 - 6)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−3x_{1} = -3
x2=−1x_{2} = -1
x3=1x_{3} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2+x)−2(−2x+(2x3+6x2))−6=0\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 + x - 2)/(2*x^3 + 6*x^2 - 2*x - 6).
−2+02−6+((2⋅03+6⋅02)−0)\frac{-2 + 0^{2}}{-6 + \left(\left(2 \cdot 0^{3} + 6 \cdot 0^{2}\right) - 0\right)}
Resultado:
f(0)=13f{\left(0 \right)} = \frac{1}{3}
Punto:
(0, 1/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+1(−2x+(2x3+6x2))−6+((x2+x)−2)(−6x2−12x+2)((−2x+(2x3+6x2))−6)2=0\frac{2 x + 1}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6} + \frac{\left(\left(x^{2} + x\right) - 2\right) \left(- 6 x^{2} - 12 x + 2\right)}{\left(\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(2x+1)(3x2+6x−1)x3+3x2−x−3−(3x−(3x2+6x−1)2x3+3x2−x−3+3)(x2+x−2)x3+3x2−x−3+1x3+3x2−x−3=0\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−3x_{1} = -3
x2=−1x_{2} = -1
x3=1x_{3} = 1

lim⁡x→−3−(−(2x+1)(3x2+6x−1)x3+3x2−x−3−(3x−(3x2+6x−1)2x3+3x2−x−3+3)(x2+x−2)x3+3x2−x−3+1x3+3x2−x−3)=−∞\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = -\infty
lim⁡x→−3+(−(2x+1)(3x2+6x−1)x3+3x2−x−3−(3x−(3x2+6x−1)2x3+3x2−x−3+3)(x2+x−2)x3+3x2−x−3+1x3+3x2−x−3)=∞\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−3x_{1} = -3
- es el punto de flexión
lim⁡x→−1−(−(2x+1)(3x2+6x−1)x3+3x2−x−3−(3x−(3x2+6x−1)2x3+3x2−x−3+3)(x2+x−2)x3+3x2−x−3+1x3+3x2−x−3)=−∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = -\infty
lim⁡x→−1+(−(2x+1)(3x2+6x−1)x3+3x2−x−3−(3x−(3x2+6x−1)2x3+3x2−x−3+3)(x2+x−2)x3+3x2−x−3+1x3+3x2−x−3)=∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=−1x_{2} = -1
- es el punto de flexión
lim⁡x→1−(−(2x+1)(3x2+6x−1)x3+3x2−x−3−(3x−(3x2+6x−1)2x3+3x2−x−3+3)(x2+x−2)x3+3x2−x−3+1x3+3x2−x−3)=∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = \infty
lim⁡x→1+(−(2x+1)(3x2+6x−1)x3+3x2−x−3−(3x−(3x2+6x−1)2x3+3x2−x−3+3)(x2+x−2)x3+3x2−x−3+1x3+3x2−x−3)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2]\left(-\infty, -2\right]
Convexa en los intervalos
[−2,∞)\left[-2, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−3x_{1} = -3
x2=−1x_{2} = -1
x3=1x_{3} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2+x)−2(−2x+(2x3+6x2))−6)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞((x2+x)−2(−2x+(2x3+6x2))−6)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + x - 2)/(2*x^3 + 6*x^2 - 2*x - 6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2+x)−2x((−2x+(2x3+6x2))−6))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{x \left(\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x2+x)−2x((−2x+(2x3+6x2))−6))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{x \left(\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2+x)−2(−2x+(2x3+6x2))−6=x2−x−2−2x3+6x2+2x−6\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6} = \frac{x^{2} - x - 2}{- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x - 6}
- No
(x2+x)−2(−2x+(2x3+6x2))−6=−x2−x−2−2x3+6x2+2x−6\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6} = - \frac{x^{2} - x - 2}{- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x - 6}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^2+x-2)/(2*x^3+6*x^2-2*x-6)
    © Sr Examen – Калькулятор