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(x^2+x-2)/(2*x^3+6*x^2-2*x-6)

Gráfico de la función y = (x^2+x-2)/(2*x^3+6*x^2-2*x-6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
              2             
             x  + x - 2     
f(x) = ---------------------
          3      2          
       2*x  + 6*x  - 2*x - 6
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6}$$
f = (x^2 + x - 2)/(-2*x + 2*x^3 + 6*x^2 - 6)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 + x - 2)/(2*x^3 + 6*x^2 - 2*x - 6).
$$\frac{-2 + 0^{2}}{-6 + \left(\left(2 \cdot 0^{3} + 6 \cdot 0^{2}\right) - 0\right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{1}{3}$$
Punto:
(0, 1/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x + 1}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6} + \frac{\left(\left(x^{2} + x\right) - 2\right) \left(- 6 x^{2} - 12 x + 2\right)}{\left(\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 1$$

$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-2, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + x - 2)/(2*x^3 + 6*x^2 - 2*x - 6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{x \left(\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{x \left(\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6} = \frac{x^{2} - x - 2}{- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x - 6}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 6} = - \frac{x^{2} - x - 2}{- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x - 6}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^2+x-2)/(2*x^3+6*x^2-2*x-6)