Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 1$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 6 x - 1\right)^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 3\right) \left(x^{2} + x - 2\right)}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-2, \infty\right)$$