Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{2 x - 1}{x + 3} - \frac{\left(x^{2} - x\right) - 2}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3 + \sqrt{10}$$
$$x_{2} = - \sqrt{10} - 3$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2 \
____ | / ____\ ____|
____ \/ 10 *\1 + \-3 + \/ 10 / - \/ 10 /
(-3 + \/ 10, ------------------------------------)
10
/ 2\
____ | ____ / ____\ |
____ -\/ 10 *\1 + \/ 10 + \-3 - \/ 10 / /
(-3 - \/ 10, --------------------------------------)
10
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -3 + \sqrt{10}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{10} - 3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{10} - 3\right] \cup \left[-3 + \sqrt{10}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{10} - 3, -3 + \sqrt{10}\right]$$