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x*(x+1)*(x+2)*(x+3)
Trazado el gráfico de la función/ x*(x+1)*(x+2)*(x+3)

Gráfico de la función y = x*(x+1)*(x+2)*(x+3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = x*(x + 1)*(x + 2)*(x + 3)
f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)f{\left(x \right)} = x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) 
f = ((x*(x + 1))*(x + 2))*(x + 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000020000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(x+1)(x+2)(x+3)=0x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
x2=−2x_{2} = -2
x3=−1x_{3} = -1
x4=0x_{4} = 0
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
x3=−3x_{3} = -3
x4=−2x_{4} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x*(x + 1))*(x + 2))*(x + 3).
3⋅0⋅23 \cdot 0 \cdot 2
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(x+1)(x+2)+(x+3)(x(x+1)+(x+2)(2x+1))=0x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−32x_{1} = - \frac{3}{2}
x2=−32−52x_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}
x3=−32+52x_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(-3/2, 9/16)

         ___  /      ___\ /        ___\ /        ___\ /      ___\ 
   3   \/ 5   |1   \/ 5 | |  3   \/ 5 | |  1   \/ 5 | |3   \/ 5 | 
(- - - -----, |- - -----|*|- - - -----|*|- - - -----|*|- - -----|)
   2     2    \2     2  / \  2     2  / \  2     2  / \2     2  / 

         ___  /      ___\ /        ___\ /        ___\ /      ___\ 
   3   \/ 5   |1   \/ 5 | |  3   \/ 5 | |  1   \/ 5 | |3   \/ 5 | 
(- - + -----, |- + -----|*|- - + -----|*|- - + -----|*|- + -----|)
   2     2    \2     2  / \  2     2  / \  2     2  / \2     2  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−32−52x_{1} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}
x2=−32+52x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=−32x_{2} = - \frac{3}{2}
Decrece en los intervalos
[−32−52,−32]∪[−32+52,∞)\left[- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}, - \frac{3}{2}\right] \cup \left[- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−32−52]∪[−32,−32+52]\left(-\infty, - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[- \frac{3}{2}, - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x(x+1)+3(x+1)(x+3)+(x+2)(2x+1))=02 \left(x \left(x + 1\right) + 3 \left(x + 1\right) \left(x + 3\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−32−156x_{1} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}
x2=−32+156x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{15}}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−32−156]∪[−32+156,∞)\left(-\infty, - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}\right] \cup \left[- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{15}}{6}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−32−156,−32+156]\left[- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}, - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{15}}{6}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(x+1)(x+2)(x+3))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x(x+1)(x+2)(x+3))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x*(x + 1))*(x + 2))*(x + 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+1)(x+2)(x+3))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x+1)(x+2)(x+3))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(x+1)(x+2)(x+3)=−x(1−x)(2−x)(3−x)x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) = - x \left(1 - x\right) \left(2 - x\right) \left(3 - x\right)
- No
x(x+1)(x+2)(x+3)=x(1−x)(2−x)(3−x)x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) = x \left(1 - x\right) \left(2 - x\right) \left(3 - x\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x*(x+1)*(x+2)*(x+3)
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