Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ((x+8)/(x-2))+((3-x)^(1/4))-((x+7)^(1/5))+((x+3)^(1/3))

Gráfico de la función y = ((x+8)/(x-2))+((3-x)^(1/4))-((x+7)^(1/5))+((x+3)^(1/3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x + 8   4 _______   5 _______   3 _______
f(x) = ----- + \/ 3 - x  - \/ x + 7  + \/ x + 3 
       x - 2
f(x)=x+33+(−x+75+(3−x4+x+8x−2))f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x + 3} + \left(- \sqrt[5]{x + 7} + \left(\sqrt[4]{3 - x} + \frac{x + 8}{x - 2}\right)\right) 
f = (x + 3)^(1/3) - (x + 7)^(1/5) + (3 - x)^(1/4) + (x + 8)/(x - 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+33+(−x+75+(3−x4+x+8x−2))=0\sqrt[3]{x + 3} + \left(- \sqrt[5]{x + 7} + \left(\sqrt[4]{3 - x} + \frac{x + 8}{x - 2}\right)\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + 8)/(x - 2) + (3 - x)^(1/4) - (x + 7)^(1/5) + (x + 3)^(1/3).
((8−2+3−04)−75)+33\left(\left(\frac{8}{-2} + \sqrt[4]{3 - 0}\right) - \sqrt[5]{7}\right) + \sqrt[3]{3}
Resultado:
f(0)=−4−75+34+33f{\left(0 \right)} = -4 - \sqrt[5]{7} + \sqrt[4]{3} + \sqrt[3]{3}
Punto:
(0, -4 + 3^(1/3) + 3^(1/4) - 7^(1/5))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−15(x+7)45+13(x+3)23+1x−2−x+8(x−2)2−14(3−x)34=0- \frac{1}{5 \left(x + 7\right)^{\frac{4}{5}}} + \frac{1}{3 \left(x + 3\right)^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x - 2} - \frac{x + 8}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{1}{4 \left(3 - x\right)^{\frac{3}{4}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2.59038642681929x_{1} = -2.59038642681929
Signos de extremos en los puntos:
(-2.590386426819294, -0.243631782363337)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−2.59038642681929x_{1} = -2.59038642681929
Decrece en los intervalos
(−∞,−2.59038642681929]\left(-\infty, -2.59038642681929\right]
Crece en los intervalos
[−2.59038642681929,∞)\left[-2.59038642681929, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
425(x+7)95−29(x+3)53−2(x−2)2+2(x+8)(x−2)3−316(3−x)74=0\frac{4}{25 \left(x + 7\right)^{\frac{9}{5}}} - \frac{2}{9 \left(x + 3\right)^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{2 \left(x + 8\right)}{\left(x - 2\right)^{3}} - \frac{3}{16 \left(3 - x\right)^{\frac{7}{4}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+33+(−x+75+(3−x4+x+8x−2)))=∞−13\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt[3]{x + 3} + \left(- \sqrt[5]{x + 7} + \left(\sqrt[4]{3 - x} + \frac{x + 8}{x - 2}\right)\right)\right) = \infty \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∞−13y = \infty \sqrt[3]{-1}
lim⁡x→∞(x+33+(−x+75+(3−x4+x+8x−2)))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt[3]{x + 3} + \left(- \sqrt[5]{x + 7} + \left(\sqrt[4]{3 - x} + \frac{x + 8}{x - 2}\right)\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 8)/(x - 2) + (3 - x)^(1/4) - (x + 7)^(1/5) + (x + 3)^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+33+(−x+75+(3−x4+x+8x−2))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x + 3} + \left(- \sqrt[5]{x + 7} + \left(\sqrt[4]{3 - x} + \frac{x + 8}{x - 2}\right)\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x+33+(−x+75+(3−x4+x+8x−2))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x + 3} + \left(- \sqrt[5]{x + 7} + \left(\sqrt[4]{3 - x} + \frac{x + 8}{x - 2}\right)\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+33+(−x+75+(3−x4+x+8x−2))=3−x3−7−x5+8−x−x−2+x+34\sqrt[3]{x + 3} + \left(- \sqrt[5]{x + 7} + \left(\sqrt[4]{3 - x} + \frac{x + 8}{x - 2}\right)\right) = \sqrt[3]{3 - x} - \sqrt[5]{7 - x} + \frac{8 - x}{- x - 2} + \sqrt[4]{x + 3}
- No
x+33+(−x+75+(3−x4+x+8x−2))=−3−x3+7−x5−8−x−x−2−x+34\sqrt[3]{x + 3} + \left(- \sqrt[5]{x + 7} + \left(\sqrt[4]{3 - x} + \frac{x + 8}{x - 2}\right)\right) = - \sqrt[3]{3 - x} + \sqrt[5]{7 - x} - \frac{8 - x}{- x - 2} - \sqrt[4]{x + 3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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