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-x^3+3x^2+6x-8
Trazado el gráfico de la función/ -x^3+3x^2+6x-8

Gráfico de la función y = -x^3+3x^2+6x-8

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3      2          
f(x) = - x  + 3*x  + 6*x - 8
f(x)=(6x+(−x3+3x2))−8f{\left(x \right)} = \left(6 x + \left(- x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 8 
f = 6*x - x^3 + 3*x^2 - 8
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(6x+(−x3+3x2))−8=0\left(6 x + \left(- x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 8 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=1x_{2} = 1
x3=4x_{3} = 4
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=4x_{2} = 4
x3=−2x_{3} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -x^3 + 3*x^2 + 6*x - 8.
−8+((−03+3⋅02)+0⋅6)-8 + \left(\left(- 0^{3} + 3 \cdot 0^{2}\right) + 0 \cdot 6\right)
Resultado:
f(0)=−8f{\left(0 \right)} = -8
Punto:
(0, -8)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3x2+6x+6=0- 3 x^{2} + 6 x + 6 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1−3x_{1} = 1 - \sqrt{3}
x2=1+3x_{2} = 1 + \sqrt{3}
Signos de extremos en los puntos:
                            3                          2 
       ___       /      ___\        ___     /      ___\  
(1 - \/ 3, -2 - \1 - \/ 3 /  - 6*\/ 3  + 3*\1 - \/ 3 / )

                            3                2           
       ___       /      ___\      /      ___\        ___ 
(1 + \/ 3, -2 - \1 + \/ 3 /  + 3*\1 + \/ 3 /  + 6*\/ 3 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1−3x_{1} = 1 - \sqrt{3}
Puntos máximos de la función:
x1=1+3x_{1} = 1 + \sqrt{3}
Decrece en los intervalos
[1−3,1+3]\left[1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,1−3]∪[1+3,∞)\left(-\infty, 1 - \sqrt{3}\right] \cup \left[1 + \sqrt{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(1−x)=06 \left(1 - x\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Convexa en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((6x+(−x3+3x2))−8)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(6 x + \left(- x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 8\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((6x+(−x3+3x2))−8)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(6 x + \left(- x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 8\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -x^3 + 3*x^2 + 6*x - 8, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((6x+(−x3+3x2))−8x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(6 x + \left(- x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 8}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((6x+(−x3+3x2))−8x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(6 x + \left(- x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 8}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(6x+(−x3+3x2))−8=x3+3x2−6x−8\left(6 x + \left(- x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 8 = x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 8
- No
(6x+(−x3+3x2))−8=−x3−3x2+6x+8\left(6 x + \left(- x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 8 = - x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 8
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -x^3+3x^2+6x-8
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